高三数学最新复习课件：平面向量基本定理及向量坐标表示

§4.2平面向量基本定理及向量坐标表示考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§4.2平面向量基本定理及向量坐标表示双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，_________一对实数λ1，λ2，使a＝____________.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组________．不平行存在唯一基底λ1e1＋λ2e2(2)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对_______叫作向量a的坐标，记作a＝________，其中___叫作a在x轴上的坐标，__叫作a在y轴上的坐标．②设a＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是____的坐标，即若a＝(x，y)，则A点坐标为_______，反之亦成立．(O是坐标原点)(x，y)(x，y)(x，y)y点Ax2．平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘的运算向量aba＋ba－bλa坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝_______________________，即一个向量的坐标等于__________________________________________．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝_____⇔___________________.(x2－x1，y2－y1)该向量终点的坐标减去始点的坐标גbx1y2－x2y1＝0提示：不能，因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2－x2y1＝0.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能不能写成x1x2＝y1y2？思考感悟1．(2009年高考广东卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C.∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．课前热身2．(2009年高考重庆卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2答案：D答案：C3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x等于()A．1B．0C．－1D．2答案：－2或114．O是坐标原点，OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k＝________.5．(原创题)在△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，若点D满足BD→＝12DC→，则a，b表示AD→的结果为________．答案：23a＋13b考点探究•挑战高考考点突破平面向量基本定理及其应用利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．1．凡遇到与平行有关的问题时，一般要考虑运用向量平行的充要条件．2．向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法．解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题．向量共线(平行)的坐标表示(2010年高考陕西卷)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.【思路点拨】由向量平行的充要条件列出关于m的方程，然后求解．【解析】∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴1×2－(－1)·(m－1)＝0，∴m＝－1.例3【答案】m＝－1【误区警示】解答本题过程中，易将方程列成(－1)×1＋2(m－1)＝0即x1x2＋y1y2＝0而出错，导致此种错误的原因是：没有准确记忆两个向量平行的充要条件，将其与向量垂直的条件混淆．变式训练2已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP→＝OA→＋t·AB→，试问：(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限？(2)四边形OABP是否可能为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，请说明理由．解：(1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，∴OA→＝(1,2)，AB→＝(3,3)．OP→＝OA→＋tAB→＝(1＋3t,2＋3t)，则P(1＋3t,2＋3t)，若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23；若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13；若P在第三象限，则1＋3t0，2＋3t0，所以t－23.(2)不能，理由如下：∵OA→＝(1,2)，PB→＝PO→＋OB→＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP是平行四边形，则OA→＝PB→，即3－3t＝1，3－3t＝2，此方程组无解．所以四边形OABP不可能为平行四边形．方法技巧1．用向量解答几何问题的一般思路是：选择一组基底，运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量形式，再通过向量的运算来解答．(如例1)2．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．(如例2)方法感悟3．两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用，一般地，如果已知两向量共线，求某些参数的值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2),则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0”比较简捷．(如例3)4．对于向量坐标的综合应用，关键是利用已知条件转化为方程或函数关系式解决．(如例4)1．数学上的向量是自由向量，向量a＝(x，y)经过平移后得到的向量的坐标仍是(x，y)．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b(b≠0)的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．失误防范3．平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．4．向量OP→的坐标就是P点坐标，向量MP→(M非原点)坐标则是P点相应坐标减去M点相应坐标．考情分析考向瞭望•把脉高考向量的坐标运算和向量共线的坐标表示是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又涉及到解答题，属于中低档题目，常与向量数量积运算交汇命题，主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的应用．同时又注重对函数与方程、化归与转化等思想方法的考查．预测2012年高考仍将以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示为主要考点，重点考查运算能力与应用能力．(2009年高考广东卷)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.【思路点拨】利用a＋b平行于x轴，设出a＋b的坐标．利用向量的坐标运算并分类讨论．命题探源例【解析】∵a＋b平行于x轴，故可设a＋b＝(m,0)，由|a＋b|＝1⇒m2＝1，故m＝±1.当m＝1时，a＝(1,0)－b＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)；当m＝－1时，a＝(－1,0)－b＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．∴a＝(－1,1)或(－3,1)．【答案】(－1,1)或(－3,1)名师预测1．若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BC→＝()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(3,7)D．(－3，－7)解析：选B.BC→＝AC→－AB→＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故选B.2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则2a＋3b等于()A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)解析：选C.∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．3．已知a＝(1，－1)，b＝(－1,3)，c＝(3,5)，若c＝xa＋yb，则实数x＝______，y＝______.解析：xa＋yb＝x(1，－1)＋y(－1,3)＝(x－y，－x＋3y)又c＝(3,5)，∴x－y＝3－x＋3y＝5，解之得x＝7y＝4.答案：744．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝________.解析：设b＝(x，y)．∵|a＋b|＝1，∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1.又∵a＋b平行于y轴，∴x＝－2，代入上式，得y＝0或2.∴b＝(－2,0)或b＝(－2,2)．答案：(－2,0)或(－2,2)