1.设(X,d)是距离空间,令.求证(X,d)也是距离空间。9.设X为距离空间,F1,F2为X中不相交的闭集,证明存在开集G1,G2,使得13.设f是定义在距离空间X上的实函数,证明f连续的充分必要条件是下列条件之一成立:(1)对任何实数a,{x:f(x)a}及{x:f(x)a}均为开集(2)对任何实数a,{x:f(x)=a}及{x:f(x)=a}均为闭集是x上的连续函数31、设D是[0,1]区间上具有连续函数(在端点1,0tt==分别具有左右导数)的实函数全体,在D定义试证明:(1)D是距离空间(2)指出D中点列按距离收敛的意义;(3)证D完备。证明:(1)证明D是距离空间:(2)指出D中点列按距离收敛的意义:(3)证明D的完备性。设{xn(t)}时D上的Cauchy列,要证{xn(t)}在D中存在极限;因为:7、设X是[]0,1上所有连续函数()xxt=的集合,证明是X上的范数,但X在这种范数下不完备。8.设(X,||·||)是赋范空间,X{0}。证明X为Banach空间的充要条件是X中的单位球面S={x∈X|||x||=1}完备。10、设H是在直线R上平方可积,导数也平方可积的连续函数集合,对于每个fH∈,定义证明H是Banach空间。21.设C(0,1]表示(0,1]上连续且有界的函数x(t)的全体。令||x||=sup{|x(t)||0t=1}.证明(1)||·||是C(0,1]空间上的范数(2)l∞与C(0,1]的一个子空间等距同构33.设(X1,||x||1),(X2,||x||2)是Banach空间,在乘积线性空间Z=X1*X2中定义||z||1=||x||1+||x||2,其中z∈Z,z=(x1,x2).证明Z是Banach空间。11.对于内积空间H,下述条件等价:(1)x⊥y(2)||x+ay||=||x||,∨a∈C(3)||x+ay||=||x-ay||,∨a∈C13.设M={x|x={xn}∈l2,x2n=0,n=1,2,…},证明M是l2的闭子空间,且求出M⊥29.设H为Hilbert空间,若EH是线性子空间并且对于任意的x∈H,x在E上的投影存在,则E是闭的。证:因为X,Y是Banach空间,且T:X→Y是满射和单射,则根据逆算子定理有:12.考虑算子T:C1[-1,1]→C[-1,1]:这里C1[-1,1]是在[-1,1]中一阶导数连续的全体函数(1)若C1[-1,1]中的范数是问T是否有界(2)若C1[-1,1]中的范数是问T是否有界。22题证明25题证32.设X是l∞中只有有限个零项的序列构成的子空间,定义证明(1)T∈B(X)并计算||T||(2)T-1无界(3)这是否与Banach逆算子定理矛盾?证33题目.39.设X,Y是线性赋范空间。若T1:X→Y是闭算子且T2∈B(X,Y),证明T1+T2是闭算子3.证明