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第42课时点运动型问题确定点在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度、线段、周长、面积及相关的关系)的变化或其中存在的函数关系．解题策略：对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决．当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解．第42课时┃点运动型问题考向互动探究考点聚焦归类探究探究一动点与二次函数综合型问题回归教材例1[2013·广安]如图42－1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，已知点A(－3，0)，B(0，3)，C(1，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D.考点聚焦归类探究回归教材第42课时┃点运动型问题①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．(结果保留根号)图42－1考点聚焦归类探究回归教材第42课时┃点运动型问题例题分层分析(1)已知三点，如何求二次函数的解析式？(2)P点的位置在哪儿，你能完成第(2)问中的作图吗？(3)观察图中△AOB，△PED，它们是等腰直角三角形吗？说明理由；(4)△PDE的周长最大时PE最大吗？(5)如何得出PE关于x的函数关系？讨论函数的最值；(6)关注正方形APMN，顶点M或N如何作出；(7)为求P点坐标，如何做？作x轴或y轴的垂线试试．考点聚焦归类探究回归教材第42课时┃点运动型问题解题方法点析二次函数动点问题解题技巧：(1)以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个点，然后再去解；(2)对称性，如果是二次函数的题，一定要注意对称性；(3)关系法：通过画图，把该要的条件列成一些关系，列出一些代数式、方程等．考点聚焦归类探究回归教材第42课时┃点运动型问题解：(1)由题意得9a－3b＋c＝0，c＝3，a＋b＋c＝0，解得a＝－1，b＝－2，c＝3，∴y＝－x2－2x＋3.(2)①∵A(－3，0)，B(0，3)，∴OA＝OB，∴∠BAO＝45°.又∵PF⊥AO，∴∠AEF＝45°，∴∠PED＝45°，∴PD＝DE.设F点的横坐标为x，则PF＝－x2－2x＋3，FE＝AF＝x＋3，∴PE＝PF－FE＝－x2－3x＝－x＋322＋94，考点聚焦归类探究回归教材第42课时┃点运动型问题当x＝－1.5时，PE最长为94，此时△PDE的周长最大，为94＋942，而点P的坐标为－32，154.②ⅰ)当M在对称轴上时，过P作PH⊥对称轴，垂足为H，则△APF≌△MPH，∴PF＝PH.设F的横坐标为x，则点P的坐标为(x，－x－1)，代入y＝－x2－2x＋3，得－x－1＝－x2－2x＋3，解得x1＝－1－172，x2＝－1＋172(舍去)，∴P－1－172，17－12.考点聚焦归类探究回归教材第42课时┃点运动型问题ⅱ)当点N在对称轴上时，如图，设对称轴与x轴的交点为K，则△APF≌△NAK，∴PF＝AK＝2，∴－x2－2x＋3＝2，解得x1＝－1－2，x2＝－1＋2(舍去)，∴P(－1－2，2)．综上可知P点坐标为－1－172，17－12，(－1－2，2)．探究二点运动型问题考点聚焦归类探究回归教材例2[2013·黄冈]如图42－2，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A(6，0)，B(3，3)，C(1，3)，动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t(秒)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；第42课时┃点运动型问题考点聚焦归类探究回归教材(3)以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值，若不能，请说明理由；(4)经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值(或范围)，若不能，请说明理由．图42－2第42课时┃点运动型问题考点聚焦归类探究回归教材例题分层分析(1)已知三点如何求二次函数的解析式？(2)可知OC＝CB＝2，∠COA＝60°，当点Q运动到OC边时，OQ＝______，画图Q在CO边上时，得出△OPQ的高是多少？如何求出面积？(3)根据题意得出：0≤t≤3，当0≤t≤____时，Q在BC边上运动，得出若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ＝______或∠OQP＝______，当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，得出△OPQ不可能为__________；(4)能求出抛物线对称轴以及直线OB和PM的解析式吗？观察解析式的特征和自变量的取值范围是什么．第42课时┃点运动型问题考点聚焦归类探究回归教材解题方法点析探索几何图形上一个或几个动点在运动变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等题目．以点的运动带动图形的变化，常与方程、函数知识联系在一起．第42课时┃点运动型问题考点聚焦归类探究回归教材第42课时┃点运动型问题解：(1)设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把A(6，0)，B(3，3)，C(1，3)三点坐标代入得36a＋6b＋c＝0，9a＋3b＋c＝3，a＋b＋c＝3，解得a＝－315，b＝4315，c＝435.即所求抛物线的解析式为y＝－315x2＋4315x＋435.考点聚焦归类探究回归教材第42课时┃点运动型问题(2)依题意，可知OC＝CB＝2，∠COA＝60°，∴当动点Q运动到OC边时，OQ＝4－t，∴△OPQ的高为：OQ·sin60°＝(4－t)×32.又OP＝2t，∴S＝12×2t×(4－t)×32＝－32(t2－4t)(2≤t≤3)．(3)依题意，可知：0≤t≤3.当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP＝2t，OQ＝3＋（3－t）2，PQ＝3＋[2t－（3－t）]2＝3＋（3t－3）2.考点聚焦归类探究回归教材第42课时┃点运动型问题∵∠POQ＜∠POC＝60°，∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ＝90°或∠OQP＝90°.若∠OPQ＝90°，则OP2＋PQ2＝OQ2，即4t2＋3＋(3t－3)2＝3＋(3－t)2，解得：t＝1或t＝0(舍)；若∠OQP＝90°，则OQ2＋PQ2＝OP2，即6＋(3－t)2＋(3t－3)2＝4t2，解得：t＝2；当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，此时OP＝2t＞4，∠POQ＝∠COP＝60°，OQ＜OC＝2，∴△OPQ不可能为直角三角形．综上所述，当t＝1或t＝2时，△OPQ为直角三角形．考点聚焦归类探究回归教材第42课时┃点运动型问题(4)由(1)可知：抛物线y＝－315x2＋4315x＋435＝－315(x－2)2＋16153，其对称轴为x＝2.又OB的解析式为y＝33x，∴抛物线对称轴与OB的交点为M2，233.又P(2t，0)，设过P、M的直线解析式为y＝kx＋b，∴233＝2k＋b，k2t＋b＝0，解得k＝33（1－t），b＝－23t3（1－t），即直线PM：y＝33（1－t）x－23t3（1－t），考点聚焦归类探究回归教材第42课时┃点运动型问题即3(1－t)y＝x－2t.又0≤t≤2时，Q(3－t，3)，代入上式，得：3(1－t)×3＝3－t－2t，恒成立，即0≤t≤2时，P、M、Q总在一条直线上，即M在直线PQ上；2＜t≤3时，OQ＝4－t，∠QOP＝60°，∴Q(4－t2，3（4－t）2)，代入上式，得：3（4－t）2×3(1－t)＝4－t2－2t，解得：t＝2或t＝43，均不合题意，应舍去．∴综合所述，可知：过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2.