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第15课时二次函数的应用（一）第15课时┃二次函数的应用（一）冀考解读考点聚焦冀考探究冀考解读考点梳理考纲要求常考题型年份2014热度预测利用二次函数解决抛物线形问题应用选择、填空、解答题2011☆☆☆☆建立坐标系解决抛物线形问题应用解答题☆☆第15课时┃二次函数的应用（一）考点1抛物线形实际问题在现实生活中，一些物体的形态呈抛物线形，比如有些桥梁、大门、水流、跳绳以及投球、跳水的路线；还有一些事件中数据的变化图像呈现抛物线形．解与之相关的实际问题，就要用到二次函数的知识．我们常把它们放到平面直角坐标系中，利用已知数据，求出二次函数的表达式，再利用函数表达式进一步解决实际问题．冀考解读考点聚焦冀考探究考点聚焦第15课时┃二次函数的应用（一）考点2建立坐标系解决抛物线形实际问题根据实际问题中的抛物线形物体特征，建立平面直角坐标系，在坐标系中研究抛物线的特征，利用二次函数性质解决实际问题．冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）探究一物体成抛物线形问题命题角度：1.利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等抛物线形问题；2.利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．[2012·安徽]如图15－1，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足表达式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.冀考解读考点聚焦冀考探究冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）(1)当h＝2.6时，求y与x的表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．图15－1冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）解析(1)利用h＝2.6，将(0，2)代入表达式求出即可；(2)利用当x＝9时，y＝－160(x－6)2＋2.6＝2.45，当y＝0时，－160(x－6)2＋2.6＝0，分别得出即可；(3)根据当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h的图像还过(0，2)点，以及当球刚能过网，此时函数的图像过点(9，2.43)，y＝a(x－6)2＋h的图像还过点(0，2)分别得出h的取值范围，即可得出答案．冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）解(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)，∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－160，故y与x的表达式为y＝－160(x－6)2＋2.6.(2)当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，－160(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6＋239＞18，x2＝6－239(舍去)．故球会出界．冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）(3)当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)，代入表达式得2＝36a＋h，0＝144a＋h，解得a＝－154，h＝83，二次函数表达式为y＝－154(x－6)2＋83，球若不出边界则h≥83.冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）当球刚能过网，此时函数图像过点(9，2.43)，y＝a(x－6)2＋h的图像还过点(0，2)，将两点坐标代入表达式，得2.43＝a（9－6）2＋h，2＝a（0－6）2＋h，解得a＝－432700，h＝19375，此时二次函数表达式为y＝－432700(x－6)2＋19375，球要过网则h≥19375.∵83＞19375，∴h≥83.故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h≥83.冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的表达式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入表达式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）探究二变量关系图像成抛物线形问题命题角度：根据事件中反映两个变量关系的图像所呈现的抛物线特征，解决实际问题．善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图15－2①所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图②所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）(1)求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数表达式；(2)求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数表达式；(3)小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？图15－2冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）解(1)由图(1)，设y＝kx.当x＝1时，y＝2，解得k＝2.∴y＝2x(0≤x≤20)．(2)由图(2)，当0≤x4时，设y＝a(x－4)2＋16.当x＝0时，y＝0，∴0＝16a＋16.∴a＝－1.∴y＝－(x－4)2＋16，即y＝－x2＋8x.当4≤x≤10时，y＝16.因此，y＝－x2＋8x（0≤x4），16（4≤x≤10）.冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x≤10)分钟，学习收益总量为y，则她用于解题的时间为(20－x)分钟．当0≤x4时，y＝－x2＋8x＋2(20－x)＝－x2＋6x＋40＝－(x－3)2＋49.当x＝3时，y最大＝49.当4≤x≤10时，y＝16＋2(20－x)＝56－2x.y随x的增大而减小，因此当x＝4时，y最大＝48.综上，当x＝3时，y最大＝49，此时20－x＝17.答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大．冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）实际问题中的分段函数图15－2②中的函数图像，以点A为界，分别为抛物线和线段，形成分段函数．对于分段函数，一般先确定不同取值范围内的函数表达式，再根据函数性质解题．在解题过程中，一定要注意不同函数表达式对应的自变量取值范围．一般地，临界点的坐标能满足两个不同的表达式，这可以作为检验的一个依据．冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）探究三建立坐标系解决抛物线形实际问题命题角度：不给定平面直角坐标系，研究抛物线形物体特征．如图15－3，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB＝18m．一同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．根据这些条件，请你求出该大门的高h.图15－3冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）解解法一：如图，建立平面直角坐标系．设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx.由题意知B，C两点坐标分别为(18，0)，(17，1.7)，把B，C两点坐标代入抛物线的表达式得182a＋18b＝0，172a＋17b＝1.7，解得a＝－0.1，b＝1.8.∴抛物线的表达式为y＝－0.1x2＋1.8x＝－0.1(x－9)2＋8.1.∴该大门的高h为8.1m.冀考解读考点聚焦冀考探究第15课时┃二次函数的应用（一）冀考解读考点聚焦冀考探究解法二：如图，建立平面直角坐标系．设抛物线的表达式为y＝ax2.由题意得B，C两点坐标分别为(9，－h)，(8，－h＋1.7)．把B，C两点坐标代入y＝ax2得－h＝81a，－h＋1.7＝64a.解得a＝－0.1，h＝8.1.∴y＝－0.1x2.∴该大门的高h为8.1m.第15课时┃二次函数的应用（一）根据大门的外形，建立平面直角坐标系是解题的关键一步．其建立方法不同，导致所设表达式不同．建立平面直角坐标系，要力求使解答方便．不论采取何种方法，所得结果是一样的，可谓“殊途同归”．冀考解读考点聚焦冀考探究