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《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生第一章鲁棒控制问题的提出和描述1.1频域不确定模型1.1.1参数摄动描述考虑右图所示RC电路，其传递函数为()()11opipuGsu,GsRCs==+假设标称值为110Ω10FooRR,CC−====则标称模型为()()11poGsGss==+但是，电阻、电容的值可能不精确,因为：1、物理参数的值具有一定的偏差；2、由于工作环境的变化和运行时间的增加，物理参数值会发生变化：11101010Ω101020FooRRR%CCC%ΔΔ−−=±=±×=±=±×则()[][]1,9,11,0.08,0.121GsRCRCs=∈∈+----参数摄动模型或()[]1,0.72,1.321Gssττ=∈+----系数摄动模型iuRCou《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生1/4车模型：乘车人体重不同时，参数M会相异。线性定常受控对象系数摄动模型的一般形式：()[]11101110,,0,1,...,;,,0,1,...,mmmmiiinnnnpjjjbsbsbsbaaainasasasaGsbbbjm−−−−⎧⎫++++∈=⎪⎪⎪⎪++++∈⎨⎬⎪⎪⎡⎤∈=⎪⎪⎣⎦⎩⎭G,,,,iijjaabbG其中已知即已知。上述系数摄动模型也称为区间对象。线性定常受控对象参数摄动模型的一般形式：主动支撑系统《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()()()()()()()[]1110111012,,,,1,2,...,mmmmnnnnTpliiibqsbqsbqsbqaqsaqsaqsaqGsqqqqqqqil−−−−⎧⎫++++⎪⎪++++⎪⎪⎪⎪∈=⎨⎬⎪⎪⎡⎤∈=⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭Q()(),,ijiiabqqQii其中已知即和,已知。函数()()ijaqbq和的可能形式：1.1.2模型摄动描述若考虑线路电阻和寄生电容，则()()()()()()()()1111111111111111oiRuCsuRCsCsRRCsRCsRCsRCsRCsRCsRCsRCsRCsRCsRCsRCsRCsεεεεεεεεεεε+=+++++=+++++−=++++++i（1）加性模型摄动()()()poGsGsGsΔ=+其中()11oGsRCs=+，()()()()11,1RCsGsWssWsRCsΔΔ==+[]()()()()(1)0123312,,sin()nlaaaaqPqPaqPqaaqqqqaqqq+×∈=∈=+=+=+R[1]系数摄动：[2]线性摄动：[3]仿射摄动：[4]多线性摄动：[5]一般非线性摄动：iuRCouRεCε()sΔ《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生线性定常受控对象加性模型摄动的一般形式：()()()poGsGsGsΔ=+()()()()12GsWssWsΔΔ=（2）乘性模型摄动：()()()1poGsGsGs=+Δ⎡⎤⎣⎦()()()2,GsWssΔΔ=i()2WsRCs=线性定常受控对象乘性模型摄动的一般形式：()()()poGsGsIGs=+Δ⎡⎤⎣⎦()()()poGsIGsGs=+Δ⎡⎤⎣⎦()()()()34,GsWssWsΔΔ=()sΔ∈Ω()()(){}sssΔΔΔ∈Ω满足某些假设()()12WsWs，为已知实有理函数()():,sjrrΔΔω≤例稳定且为已知正实数()oGs()GsΔoGGΔoGGΔ()()34WsWs，为已知实有理函数燃油喷入控制系统《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()222503234225253235225603245173649393137983492238771549840074444937295201214467728595053915310081762.es.es.ePss.s.es.e.s.es.ePss.s.es.e.s.es.ePss.s.es.e−−+−=++++−=+++−−=+++加入积分环节后，受控对象的描述为：()[]()1xxGsPsΔ=+其中()()()()()()252525102560xxPsPsPsPs,s,x,,sPsΔ−===当温度在0度到60度之间变化时，受控对象由一模型集合来描述：()[]()1GsPsΔ=+不同环境温度下的幅频特性闭环控制系统：加入积分环节《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生其中()()jWjΔωω≤，()()()3060306010ssWs**++=1.1.3混合摄动描述线性定常受控对象可能含有参数摄动和模型摄动，即具有混合摄动：()()()()()()()()12pooGsGsGsGsorGsWssWsΔΔΔ=+∈=GQ()sΔ∈Ω1.2时域不确定模型1.2.1系数区间摄动还以RC电路为例：()()()()()11ioxtxtutRCRCutxt=−+=考虑系数摄动，则()()()()()ioxtaxtbututcxt=+=其中25252525,,,,115333318abc⎡⎤⎡⎤∈−−∈=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦系数区间摄动描述的一般情形：()()()()()xtAxtButytCxt=+={}{}{},ijijijAaBbCc===,,ijijijijijijijijijaaabbbccc≤≤≤≤≤≤其中区间端点是已知的，即,(,,)ijijabcααα=。系数区间摄动描述的更一般情形：iuRCou《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()()()()()()xtAqxtBqutytCqxt=+=()(){}()(){}()(){},ijijijAqaqBqbqCqcq===[]12Tlqqqq=iiiqqq≤≤其中已知：,iiqq1.2.2范数有界摄动仍以RC电路为例：()()()()()11ioxtxtutRCRCutxt=−+=考虑参数摄动，则()()()()()ioxtaxtbututcxt=+=其中()()()()()()()ooiiooxtaxtbutaxtbututcxtΔΔ=+++=其中0001.0732,0.31571.0732,0.31571aabbcΔΔ=−≤=≤=《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生门架控制系统伺服电机模型：《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生伺服电机动力学方程：()()()()()()()22ˆmtaaeaaadxtdxtMDFFKItdtdtdxtdItKLRItutdtdt++==++=其中ˆloadfrictionrippleFFFF=++()()()()()/signsinsxxfrictioncscvripplerFFFFeFxxFFxxδωφ−⎡⎤=+−+⎢⎥⎣⎦=+伺服电机状态方程：()()()()()()ztAztButxtCzt=+=其中()()()()()()()0AztAfztfztztαβ=+≤+范数有界摄动描述的一般情形：()()()()()()()()oooxtAxtButAxtButytCxtCxtΔΔΔ=+++=+其中1.2.3非线性时变摄动非线性时变摄动描述的一般形式为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,xtfxtuttfxtuttythxtutthxtuttΔΔ=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,,,,1,,1,,1oooaaaaaabbbbbbccccccABCAEDEDBEDEDCEDEDΔΔΔΔΔΔΔΔΔ=≤=≤=≤给定和给定和给定和给定……嵌齿效应《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生其中函数()()()(),,,,fxtutthxtutt⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦和已知，不确定性()(),,fxtuttΔ⎡⎤⎣⎦和()(),,hxtuttΔ⎡⎤⎣⎦具有某已知性质。若()()()(),,,,fxtutthxtuttΔΔ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦和具有一阶范数阶，则()()()()()()()()()()()()()(),,,,fffhhhfxtutttxttutthxtutttxttuttΔξζγΔξζγ≤++⎡⎤⎣⎦≤++⎡⎤⎣⎦其中•表示范数，若其为欧氏范数，而[]12,,,Tnzzzz=，则()1/222212nzzzz=+++1.3离散摄动模型如果系统中存在两个可能损坏的部件：1、两个部件均正常：()1yGsu=2、#1部件损坏：()2yGsu=3、#2部件损坏：()3yGsu=4、两个部件均损坏：()4yGsu=离散摄动描述的一般情形：其中()(){},1,2,,piGsGsik∈=Z其中k个分立模型是已知的，但哪个模型接入系统却不知，或均可能接入系统。同时镇定问题：对于离散摄动系统，设计一控制器，使得由离散摄动描述中的任何一个受控对象与控制器构成的闭环系统均是稳定。#1#2uyuy()1Gs()4Gsuy()pGs《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生同时镇定问题例1：()()()()()()21231210,,171981ssGsGsGssss−−===+−+i参考文献：MCSS,1993,p.135。同时镇定问题例2：()()()()()()212321210,,16117151ssGsGsGssss−−===+−+i参考文献：Sys.Contr.Lett,1999,vol37,p.173广义香槟问题：()()()()()()()()212321210,,1111ssGsGsGssssδδδδ−−===++−−+⎡⎤⎣⎦参考文献：中国科学信息科学（E辑）2007,vol.37,p.770注意，在上述镇定问题例中()10Gs=，这意味着要设计稳定的控制器，使得其同时镇定()2Gs和()3Gs。用稳定的控制器镇定闭环系统的问题称为强镇定问题。1.4鲁棒控制问题描述实际系统的数学描述总存在误差，导致系统描述误差的原因是多方面的：1.（外部）：运行条件、环境和时间的变化；2.（内部）：元、部件的老化、损坏或性能漂移；3.（人为）：用简单模型近似复杂模型：(a)非线性模型=〉线性模型(b)慢变模型=〉定常模型(c)高阶模型=〉低阶模型(d)分布参数=〉集中参数对于给定系统，采用何种摄动描述，应根据具体问题的摄动形式/情况和拟采用的分析、设计方法来确定。《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生鲁棒控制问题：给定一受控对象的集合（族），设计一（线性定常）控制器，使得对该集合中的任意受控对象，闭环系统均满足要求的性能指标。性能指标：稳定性；静态特性、动态特性古典控制理论的稳定余量对于一般参数摄动可能不是一个合适的鲁棒性度量。例（LQR系统对参数摄动的鲁棒性）假设受控对象的状态空间描述为：()()()()()()()[]()10102111xtAxtBxtxtutytCxtxt−⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦==其输入输出描述为()()()2312oysGsuss+==++欲设计全状态反馈控制器，使得如下性能指标达到最小：()()220,0Jytrutdtr∞⎡⎤=+⎣⎦∫这是一个无穷时间线性二次型最优输出调节器问题，最优控制状态反馈为：()()()1TutKxtrBPxt−=−=−其中P是Riccati代数方程的正定解：10TTTPAAPrPBBPCC−+−+=可以证明此LQR系统对于任意正的加权系数r，均具有幅值稳定余量：0.5∞∼相角稳定余量：6060oo−∼但此系统仅对()()1oWsKsIAB−=−的单纯的开环增益摄动或单纯的开环相IsCAKBuxy×最优LQR闭环系统框图《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生H∞⇒方法模型摄动、时域摄动μ⇒综合方法模型摄动（结构信息）1peaktopeakL⇒方法角摄动，其鲁棒稳定性是好的，对于一般的参数摄动或模型摄动，则不然。考虑如下加性模型摄动：()()1poGsGssε=++则()()1poGjGjjεωωεω−=≤+因此，当ε充分小时，可以认为上述模型摄动是小的。对于上述的模型摄动，其状态空间描述可以表示为B的参数摄动：110Bε⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦可以证明：对于摄动后的系统，当0r→（cheapcontrol）时，闭环系统极点趋于：