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第27课时梯形第27课时┃考点聚焦考点聚焦考点1梯形的有关概念考点聚焦归类探究回归教材梯形定义一组对边______，另一组对边________的四边形叫做梯形等腰梯形两腰相等的梯形叫做等腰梯形直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形平行不平行第27课时┃考点聚焦考点2等腰梯形等腰梯形的性质轴对称性等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴性质定理1等腰梯形同一底上的两________相等性质定理2等腰梯形的对角线________等腰梯形的判定判定方法(1)定义法；(2)同一底上的两个角________的梯形是等腰梯形判定步骤(1)先判定它是梯形；(2)再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”或“对角线相等”来判定它是等腰梯形底角相等相等考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃考点聚焦考点3梯形中常用的辅助线辅助线添加方法及目的图形平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形作两高从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形平移对角线移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线，可以借助所得到的平行四边形来研究梯形考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃考点聚焦辅助线添加方法及目的图形延长两腰延长梯形的两腰交于一点，得到两个三角形，如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形连接中点并延长连接梯形一顶点与一腰的中点并延长与另一底的延长线相交，可得一三角形，将梯形的面积转化为三角形的面积，将梯形的上下底转移到同一直线上考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．梯形的定义及分类；2．梯形的中位线及有关计算．探究一、梯形的基本概念及性质归类探究第27课时┃归类探究例1．[2012•滨州]我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃归类探究如图27－1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．图27－1解析连接AF并延长交BC的延长线于点G，则△ADF≌△GCF，可以证得EF是△ABG的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得．考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃归类探究解析EF∥AD∥BC，EF＝12(AD＋BC)．证明：连接AF并延长交BC的延长线于点G.∵AD∥BG，∴∠DAF＝∠G.在△ADF和△GCF中，∠DAF＝∠G，∠DFA＝∠CFG，DF＝CF，∴△ADF≌△GCF.∴AF＝FG，AD＝CG.又∵AE＝EB，∴EF∥BG，EF＝12(BC＋CG)，即EF∥AD∥BC，EF＝12(AD＋BC)．考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃归类探究方法点析梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决．常用添加辅助线的方法有：(1)平移一腰；(2)过同一底上的两个顶点作高；(3)平移对角线；(4)延长两腰；(5)连接一腰并延长．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．等腰梯形两腰的大小关系，两底的位置关系；2．等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系；3．等腰梯形的对角线的大小关系．探究二、等腰梯形的性质第27课时┃归类探究例2．[2012•苏州]如图27－2所示，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE、AC.(1)求证：△ABE≌△CDA;(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．图27－2考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃归类探究解析(1)由等腰梯形的性质可得∠ABE＝∠CDA，从而得到两个三角形全等；(2)由(1)得到∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，进而利用三角形的内角和求得．考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃归类探究解:(1)证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABE＝∠BAD，∠BAD＝∠CDA.∴∠ABE＝∠CDA.在△ABE和△CDA中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDA，BE＝AD，∴△ABE≌△CDA.(2)由(1)得∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，∴∠AEB＝∠ACE.∵∠DAC＝40°，∴∠AEB＝∠ACE＝40°.∴∠EAC＝180°－40°－40°＝100°.考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．定义法；2．从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形；3．从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形．探究三、等腰梯形的判定第27课时┃归类探究例3．[2013•钦州]如图27－3所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC＝∠C.求证：梯形ABCD是等腰梯形．图27－3考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃归类探究解析证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC.∵∠DEC＝∠C，∴∠B＝∠C.又∵四边形ABCD是梯形，∴梯形ABCD是等腰梯形．方法点析证明等腰梯形首先要满足梯形的定义，再证明两腰相等，或同一底上的两角相等，或对角线相等即可．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．常用辅助线；2．动态几何问题；3．梯形与全等、相似、解直角三角形等知识的综合运用．探究四、梯形的综合应用第27课时┃归类探究例4．如图27－4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝14cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从点A、C同时出发，设移动时间为t秒，求t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形？图27－4考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃归类探究解析如图，因为AD∥BC，等腰梯形是轴对称图形，要说明四边形PQCD是等腰梯形，则可以从QN＝MC中得到解决．特别需要注意的是P、Q的运动方向是相反的．解：设P、Q运动到如图位置时，梯形PQCD是等腰梯形．平移AB到PN、DM位置，得QN＝MC＝BC－BM＝BC－AD＝21－18＝3(cm)．又QN＝BN－BQ＝AP－BQ＝t－(21－2t)＝3t－21，所以3t－21＝3，即t＝8.所以t＝8秒时，梯形PQCD是等腰梯形.考点聚焦归类探究回归教材教材母题解梯形问题的基本思路第27课时┃回归教材回归教材如图27－5所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7，求∠B的度数．图27－5考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃回归教材解析过点A作AE∥DC.∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形．∴CE＝AD＝3，AE＝CD.∵BC＝7，CE＝3，∴BE＝4，∵四边形ABCD是等腰三角形，∴CD＝AB＝4，∴AB＝BE＝AE＝4.∴△ABE是等边三角形．∴∠B＝60°考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃回归教材中考预测如图27－6所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是()A．b2＝acB．b2＝ceC．be＝acD．bd＝ae图27－6A考点聚焦归类探究回归教材第27课时┃回归教材解析过点D作DE⊥AB，垂足为E.∵∠C＝∠CBA＝∠DEB＝90°，∴四边形CBED是矩形，∴DE＝CB＝d，BE＝CD＝c，∴AE＝a－c.在Rt△DEA中，DE2＋AE2＝AD2，即d2＋(a－c)2＝e2，∴a2－2ac＋c2＋d2＝e2，即a2－e2－2ac＋c2＋d2＝0.在Rt△BDA中，a2－e2＝b2.在Rt△BCD中，c2＋d2＝b2.∴a2－e2－2ac＋c2＋d2＝0可整理为b2－2ac＋b2＝0，∴b2＝ac.在Rt△BDA中，利用面积法有ad＝be，故B、C、D错误，所以选A.考点聚焦归类探究回归教材