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第3节直角三角形第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦考点聚焦考点1直角三角形的概念、性质与判定拓展(1)两个内角互余的三角形是直角三角形(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形判定(1)直角三角形的两个锐角互余(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于____________(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于__________性质有一个角是________的三角形叫做直角三角形定义(1)SRt△ABC＝12ch＝12ab，其中a，b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；(2)Rt△ABC内切圆半径r＝a＋b－c2，外接圆半径R＝c2，即等于斜边的一半直角斜边的一半斜边的一半第九单元┃三角形考点2勾股定理及其逆定理勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即____________勾股定理的逆定理逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系：____________，那么这个三角形是直角三角形用途(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两条线段垂直；(3)解决生活中的实际问题勾股数能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数包考集训包考探究考点聚焦a2＋b2＝c2a2＋b2＝c2第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦考点3互逆命题、互逆定理互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做________，那么另一个叫做它的________互逆定理若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的________，称这两个定理为互逆定理原命题逆命题逆定理第九单元┃三角形包考探究包考集训包考探究考点聚焦类型一特殊直角三角形的边角关系例1在直角三角形中30°，60°，90°角所对的边的比是________；45°，45°，90°角所对的边的比是________．1∶3∶21∶1∶2第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦类型二勾股定理与最短距离例2如图9－3－1，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.图9－3－113第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦[解析]要求长方体中两点之间的最短路径长，最直接的作法就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．∵PA＝2×(4＋2)＝12(cm)，QA＝5(cm)，∴PQ＝13(cm)．第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦类型三利用勾股定理求线段的长度例3如图9－3－2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝25，则BE的长为________．图9－3－242第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦[解析]∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC.∵D是AB的中点，DE＝2，∴BC＝4.∵DE⊥AC，垂足为E，DE＝2，CD＝25.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE＝4.∵在Rt△BCE中，∠ACB＝90°，∴BE＝BC2＋CE2＝42.第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦类型四勾股定理的逆定理例4[2013·包头]如图9－3－3，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△BCE绕点B逆时针旋转90°到△BAE′的位置．若AE＝5，BE＝2，CE＝1，则∠AE′B＝________度．图9－3－3135第九单元┃三角形包考集训包考集训包考探究考点聚焦一、选择题1．在Rt△ABC中，两直角边长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则a＋b与c＋h的大小关系是()A．a＋b＞c＋hB．a＋b＝c＋hC．a＋b＜c＋hD．不确定C第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦2．在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，则AC与BD的大小关系是()A．AC＞BDB．AC＜BDC．AC≥BDD．AC≤BDC第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦3．若a，b，c是直角三角形的三边，斜边c上的高为h，给出下列结论：(1)以a2，b2，c2为边可组成三角形；(2)以a，b，c为边可组成三角形；(3)以a＋b，c＋h，h为边可组成直角三角形；(4)以1a，1b，1c为边可组成直角三角形．其中正确的结论个数为()A．1B．2C．3D．4B第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦4．如图9－3－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是()A．3B．2C.3D．1图9－3－4B第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦二、填空题5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高等于________．6．如图9－3－5所示，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽为2米，地毯的售价为每平方米5元，则铺设这个楼梯需要花费________元．图9－3－512570第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦7．如图9－3－6，在高为12米的圆柱表面均匀地缠绕4圈铁丝，则该铁丝的长度最少需________米(底面周长为4米)．图9－3－620第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦8．如图9－3－7是由四个全等的直角三角形拼成的大小正方形，已知小正方形的面积是1，大正方形的面积是13，设直角三角形两直角边分别为a，b(ab)，则(a＋b)2＝________．图9－3－725第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦9．高为2的等边三角形的边长为________．10．如图9－3－8，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD是角平分线，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，且DE＝1，则AB＝________．图9－3－84333第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦11．底角为15°的等腰三角形的腰长为2a，则腰上的高为________．12．等腰三角形一腰上的高等于另一腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于______________．a30°或150°第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦13．如图9－3－9，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝135°，AD＝2，BC＝23，则四边形ABCD的面积为________．图9－3－94第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦14．在△ABC中，∠B＝30°，∠A＝105°，S△ABC＝2(1＋3)，则AB＝________，AC＝________．15．一个等腰三角形的周长为16cm，底边上的高为4cm，则这个等腰三角形的面积为____________．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边上的中线长为1，周长为2＋5，则这个三角形的面积为________．42212cm214第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦17．如图9－3－10，在四边形ABCD中，AB⊥AC，CD⊥BD，点E是BC的中点，AD＝3，BC＝5，则△AED的周长为________．图9－3－108第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦18．从长度为5，9，12，13，15，16，20的7条线段中取出3条线段，其中能组成直角三角形的有________种．19．如图9－3－11，在四边形ABCD中，AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，∠B＝90°，则∠A＝________.图9－3－113135°第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦20．如图9－3－12，在等边三角形ABC内有一点P，已知PA＝2，PB＝3，CP＝1.将△BPC绕点B逆时针旋转60°到△BP′A的位置，则∠BP′A＝________，△ABC的边长为________．图9－3－12150°7第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦21．如图9－3－13是一张矩形纸片ABCD，其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC边的中点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接CB′，则CB′＝________．图9－3－13185第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦22．已知下列四个命题：①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④菱形对角线互相垂直．其中原命题和逆命题都正确的是________(填序号)．①③第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦三、解答题23．如图9－3－14，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD交BC于点E.求证：CD＝12BE.图9－3－14第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦证明：取BE的中点F，连接DF，则有DF＝12BE＝BF，∴∠DBF＝∠BDF＝12∠ABC，∴∠DBF＋∠BDF＝∠ABC＝∠DFC＝∠C，∴DF＝CD＝12BE.第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦24．如图9－3－15，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D是AB边的中点，点E，F分别是AC，BC上的点，且DE⊥DF.(1)求证：DE＝DF；(2)若AE＝12，BF＝5，求S△DEF.图9－3－15第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦解：(1)证明：连接CD，可证△CED≌△BFD，则DE＝DF.(2)由(1)，得DE＝DF，CE＝BF＝5.可证△AED≌△CFD，∴AE＝CF＝12，∴EF＝13，∴DE＝DF＝1322，∴S△DEF＝12DE·DF＝1694.第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦25．如图9－3－16，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝120°，AD是BC边上的高，求AD的长．图9－3－16第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦解：过点B作BE⊥CA，交CA的延长线于点E，则BE＝3，AE＝1，∴EC＝5，BC＝27.∵S△ABC＝12AC·BE＝12BC·AD，∴AD＝2217.第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦26．如图9－3－17，△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC＝14，求S△ABC.图9－3－17第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦解：过点A作AD⊥BC于点D.设BD＝x，则CD＝14－x.根据勾股定理，得AB2－x2＝AD2＝AC2－(14－x)2.代入数据，得x＝9，∴AD＝12，∴S△ABC＝12BC·AD＝84.第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦27．[2013·宜宾]如图9－3－18，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF.若AG＝13，CF＝6.求四边形BDFG的周长．图9－3－18第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦解：∵FGBD，∴四边形BGFD为平行四边形．又∵BD＝DF＝12AC，∴▱BGFD为菱形．设GF＝x，则AF＝13－x，AC＝2x.在Rt△ACF中，AF2＋CF2＝AC2，即(13－x)2＋62＝(2x)2，解得x＝5(负值已舍去)，∴四边形BDFG的周长为20.第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦28．如图9－3－19，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，已知CD⊥AB，AE＝CE，∠ABE＝30°.求证：CD＝BE.图9－3－19证明：过点E作EH∥CD交AD于点H，则EH＝12CD.∵∠ABE＝30°，∴EH＝12BE，∴CD＝BE.第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦29．如图9－3－20，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E是AB边上的两个动点，∠DCE＝45°.(1)将△CBE绕点C顺时针旋转90°，画出此图；(2)借助(1)中的图，证明AD2＋BE2＝DE2.图9－3－20第九单元┃三角形包考集训包考探究考点聚焦解：(1)如图△CAE′即为所求．(2)设旋转后的三角形为△CAE′(点E与点E′对应)，连接DE′，则△ADE′为直角三角形，AE′＝BE.可证△CE′D≌△CED，∴DE′＝DE，∴AD2＋BE