重庆市2016中考数学 第二部分 题型研究 二、解答题重难点突破 题型二 新定义问题课件

二、解答题重难点突破第二部分题型研究目录题型二、新定义问题第二部分题型研究二、解答题重难点突破题型二、新定义问题典例精讲例（2015重庆A卷）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”.再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”.（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x（1≤x≤4,x为自然数），十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.（1）【思路分析】根据“和谐数”的定义，实质上这个自然数是“对称数”，根据对称的特点，很容易写出3个四位的“和谐数”．显然，任意的四位“和谐数”能被11整除，要证明这个结果，不妨引入字母表示一个四位的“和谐数”，如xyyx，用十进制表示为：1000x＋100y＋10y＋x，只需要说明这个式子含有因数11即可.解：1331，2442，1001．猜想：任意一个四位的“和谐数”能被11整除．理由：设一个四位的“和谐数”记为xyyx，用十进制表示为:1000x＋100y＋10y＋x=1001x＋110y=11(91x＋10y)，∵x、y是0～9之间的整数，∴11(91x＋10y)能被11整除．(2)【思路分析】根据对称性，这个三位的“和谐数”记为xyx，用十进制表示为100x＋10y＋x，因为它是11的倍数，所以为整数，这个式子变形为，根据整除性讨论，得出x、y之间的关系，即可写出y与x之间的函数关系式.解：这个三位的“和谐数”为xyx,用十进制表示为:100x＋10y＋x=101x＋10y，∵它是11的倍数，1001011xyx2911xyxy211xy∴为整数，将这个式子变形为，∵x、y是0~9之间的整数，∴是整数.∵∴∴∴2x-y只能是0，不能是1011011xy101109911+229111111xyxyxyxyxy211xy14,09,xy228,90xy728,xy11∴2x-y=0,即y=2x，∴y与x之间的函数关系式是y=2x（1≤x≤4，x为自然数）.一题多解:∵这个三位“和谐数”的个位上的数字为x，十位上的数为y，∴这个三位“和谐数”可表示为100x+10y+x.∵100x+10y+x=99x+11y+2x-y=11(9x+y)+(2x-y),又∵这个三位“和谐数”能被11整除，且x,y是自然数，∴2x-y能被11整除，∵1≤x≤4,0≤y≤9,∴2≤2x≤8，-9≤-y≤0，∴-7≤2x-y≤8，∴2x-y=0，∴y与x的函数关系式为y=2x(1≤x≤4且x为自然数).【难点突破】本题的难点在于在（1）中说明一个四位“和谐数”是11的倍数时，很难想到利用因式分解的知识说明，而停留在举例说明上;（2）中在探索x,y之间关系时，很难想到对代数式100x+10y＋x变形后利用整除性讨论，并且对于余数2x-y的取值比较难于判断，只能通过x、y的范围及2x-y可被11整除来分析其取值.