普通物理学第15章习题答案

振动习题15-115-215-315-415-515-615-715-815-915-1015-1115-1215-1315-1415-1515-1615-1715-1815-1915-2015-2115-2215-2315-2415-2515-2615-2715-2815-2915-3015-3115-3215-3315-3415-3515-3615-37习题总目录结束15-1质量为10g的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律而振动，式中t以s为单位,试求:(1)振动的角频率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值;(2)t=1s、2s、10s等时刻的相位各为多少?(3)分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。π30.5cos(8xmt)+=π返回结束A=0.5mπ30.5cos(8xmt)+=π=3πφ=ω8=25.12s-1π0.15=12.6m/smv×==ωA8π2ma=ωA()=316m/s=×8π20.52t=1s()+==ωφ+t8π3π253π×()+==ωφ+tπ3π493π82t=2s×()+==ωφ+tπ3π2413π810t=10sT0.25sω2=π=解：返回a~tv~tx~tvaxtox~t曲线φ3π=56πφ=v~t曲线43πφ=a~t曲线返回结束15-2有一个和轻弹簧相联的小球，沿x轴作振幅为A的简谐振动，其表式用余弦函数表示。若t=0时，球的运动状态为:(1)x0=-A;(2)过平衡位置向x正方向运动;(3)过x=A/2处向x负方向运动;试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写2A(4)过处向x正方向运动;出振动表式。返回结束3πφ=A(3)xπφA=(1)x32πφ=A(2)x74πφ=A(4)x返回结束15-3一质量为10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为4.0s，当t=0时，位移为+24cm。求:(1)t=0.5s时，物体所在位置;(2)t=0.5s时，物体所受力的大小与方向;(3)由起始位量运动x=l2cm处所需的最少时间;(4)在x=12cm处，物体的速度、动能以及系统的势能和总能量。返回结束t=0πω2T=4=1.57s-1=2ππ2=0v0=x0=A=0.24mtcosx=0.242πt=0.5s()×cosx=0.242π0.5cos=0.24π0.25×=0.17m22=0.24振动方程为：A=0.24m解：φ0=返回结束=fma2πcos()×a=0.5ωA2×=0.1714π2=0.419m/s2=10×10-3×(-0.419)=-0.419×10-3N=0.5st()cos=0.240.122πt=1()cos2πt2=2πt3π2=t32s返回结束=-0.326m/sωAvsin=()2πt0.24××=3π2πsin12Emvk2==×10×10-3×(0.326)212=5.31×10-4J12EkxP2=12m2=ωx2×=×10×10-312×(0.12)2()2π2=1.77×10-4JEk=EkEp+=7.08×10-4J返回结束15-4一物体放在水平木板上，此板沿水平方向作简谐振动，频率为2Hz，物体与板面间的静摩擦系数为0·50。问:(1)要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值为若干?(2)若令此板改作竖直方向的简谐振动，振幅为0.05m，要使物体一直保持与板接触的最大频率是多少?返回结束mgm=mamωAm2=mgωA2=mmπ222()×=0.031m=0.5×9.8(1)为使物体和板不发生相对滑动，由最大静摩擦力带动物体和板一起振动,所以有：返回结束为使物体不脱离板必须满足gωA2=mgωA=mn21πgA==2.2Hz21π9.8=5.0×10-2NmgNmg=maN≥0(2)物体作垂直振动时有：N=0在极限情况时有：mg=mammωA2=m∴返回结束15-5在一平板上放质量为m=1.0kg的物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周期为T=O.5s，振幅A=O.O2m。试求:(1)在位移最大时物体对平板的工压力；(2)平板应以多大振幅作振动才能使重物开始跳离平板。m返回结束=1.0(9.8+3.16)amωA2=Nmg=mam(1)当物体向上有最大位移时有：()mNg=ωA2()=20.5π1.0×9.820.02×Nmg=mam+()mNg=ωA2=12.96NNmgxo=6.64N当物体向下有最大位移时有：amωA2=返回结束(2)当物体向上脱离平板时有：mg=mωA2g=ωA2()=0.062m=9.84π2Nmgxo返回结束15-6图示的提升运输设备，重物的质量为1.5×1O4kg，当重物以速度v=l5m/min匀速下降时，机器发生故障，钢丝绳突然被轧住。此时，钢丝绳相当于劲度系数k=5.78×1O6N/m的弹簧。求因重物的振动而引起钢丝绳内的最大张力。m返回结束=2.21×105Nx0=0v0=0.25m/sωA2+=x0v022=ωv0k=ωmTm2mg=Aω+Tm2mg=Aω+mmg=ωv0+mg=mkv0=1.5×104×9.8+0.255.78×106×1.5×104t=0：解：取物体突然停止时的位置作为坐标的原点（物体的静平衡位置），并以此时刻作为计时零点。mgT返回结束15-7一落地座钟的钟摆是由长为l的轻杆与半径为r的匀质圆盘组成，如图所示，如摆动的周期为1s，则r与l间的关系如何?rl返回结束qMmgrlsin()+=Jrm22+=12mrl()+qsinq2dMJ=qdt2qrmgrml22()++=12mrl()+2dqdt2qmgrl()++qrgrl22()++=02rl()+2dqdt22解：rlqmg返回结束+qrgrl22()++=02rl()+2dqdt22=rgrl22()++2rl()+2ω=rgrl22()++2rl()+2r2=0gl+6π2l24π2lr28πgr+可得r与l的关系式：=ω2πT由：=1+q2=02dqdt2ω比较上两式得到：返回15-8如图所示，两轮的轴互相平行，相距为2d，其转速相同，转向相反，将质量为m的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系数均为m，当木板偏离对称位置后，它将如何运动?如果是作简谐振动，其周期是多少?2dω12C.ω返回结束Ngm1+=N2xd()+N1=N2xd()fm1=N1+=N2xd()gm2dxd()gm2d=N1xd()gm2d=f1m+=f2xd()gm2dmC.o.N1N2f1f2gmxfm2=N2解：从上述四式解得：返回结束xd()gm2d=f1m+=f2xd()gm2dmd=f2f1mxdt22d=mxdt22+xd()gmxd()gm2d2dmm+=0gdmxdxdt22=Tωπ2=gdmπ2=ω2gdm返回结束15-9如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动。已知弹簧的劲度系数为k,滑轮半径为R转动惯量为J。(1)证明物体作简谐振动;(2)求物体的振动周期；(3)设t=0时，弹簧无伸缩，物体也无初速，写出物体的振动表式。Mkm返回结束R=0T2RT1Tbk2=T1=Tbk1=解：在静平衡时有：T2T1gT2mJkmxob静平衡位置gm=0T2=gmbk返回结束Tbk1()+=xaJR=T2RT1取静平衡位置为坐标原点Jkmxob静平衡位置x在任意位置时有：T2T1gT2ma2dx==aR2dtJ2++2dx=02dtkxmRω=J2+kmR返回结束=0tx==gmbk0=Agmk+J2+kmRcocx=gmktπv=00由初始条件：=φπ得：振动方程为：ω=J2+kmR+=π2J2kmR=Tωπ2返回结束15-10如图所示，绝热容器上端有一截面积为S的玻璃管，管内放有一质量为m的光滑小球作为活塞。容器内储有体积为V、压强为p的某种气体，设大气压强为p0。开始时将小球稍向下移，后放手，则小球将上下振动。如果测出小球作简谐振动时的周期T，就可以测定气体的比热容比热容比γ。试证明：(假定小球在振动过程中，容器内气体进行的过程可看作准静态绝热过程)π4γVmp2=2S4T2返回结束解：在静平衡时：当小球下降x(任意位置)时：0pp1mgxox静平衡位置任意位置由上两式可得到：设过程是绝热的，所以：Vx1=VSgm0+=SpSp1()=VγpγxVSp=VγpVγ11pdxdt22m=SpS1p0+dxdt22m=SpSmg1p返回结束=pVγx1S1()=pVγpγxVS+1γVxS=p+1γVxSVxS∵++=1Vγx1S1γVxS...∴1()=pVγγxVSp1=pVγx1Sp返回结束1p=p+1γVxS=dxdt22m前面已得到：+=dxdt22mpSγVx20=ω2mpSγV2=ωmpSγV2=TωmpSγV2π2π4γVmp2=2S4T2=SpS1pSp+1γVxSSpdxdt22m=SpS1p返回结束15-111660年玻意耳把一段封闭的气柱看成一个弹簧，称为“空气弹簧”如图所示，有一截面积为S的空心管柱，配有质量为m的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。在话塞处于平街状态时，柱内气体的压强为p，气柱高为h,若使活塞有一微小位移，活塞将作上下振动，求系统的固有角频率。可利用这空气弹簧作为消振器。phm返回结束gm0+=SpSpx0+ddt22m=SpSmg1pVpV1p=1解：在静平衡时：当活塞下降x(任意位置)时：设过程是等温的V1hx()=SVh=Sdxdt22m=SpS1p由上两式得到：静平衡位置任意位置xxo0pp1mgp1p=hx()ShS返回结束p1p=hx()ShSp=x()h11px()h1+()hx∵dxdt22m=SpS1pdxdt22m=SSppx()h1+dxdt22m=Spxh+0m=Sphω=mhgm0+Spp1=hx()hp返回结束15-12设想沿地球直径凿一隧道，并设地球为密度ρ=5.5×l03kg/m3的均匀球体。试证:(1)当无阻力时，一物体落入此隧道后将作简谐振动；(2)物体由地球表面落至地心的时间为(提示，物体在地球内部所受引力的计算，与电荷在均匀带电球体内受力的计算类似)πρ3Gt=41式中G是引力常量。返回结束FGmr=M2Gr=M2.=KSdSKπ2r4=GrM2π2r4=GMπ4.=KSdSKπ2r4ρ=Gπ4π3r43.πρ=G4r3KmK=F解：由万有引力定律：和静电场类似，引入万有引力场场强K和静电场类似，引入引力场的高斯定理在地球内部作一半径为r的高斯面得到该处的场强：返回结束ρ=Gπ4r3K=FmK=mρGπ4r3dxdt22m=+0ρGπ4r3drdt22==ωρGπ43=Tωπ2=tT4=πρG3=πρG341=1267s3×3.146.67×10-11×5.5×103=41ρGπ43=π2返回结束15-13一半径为R的光滑圆环以恒定的角速度ω绕其竖直的直径旋转，圆环上套有一小珠。试求在Rω2g的情形下，(1)小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示);(2)小珠在平衡位置附近作小振动的角频率。返回结束mg=Ncosq0g=cosq0Rω21cosg=q0Rω2Nsinq0=ωmRsinq02+=qq0Δq解：(1)在平衡位置时(2)当小球偏离平衡位置时ωmRsinq2FI=小球除了受正压力N，重力作用mg外，qNmgFI还受到一惯性力作用返回结束Δq=ddt22sin(q0+Δq)()Δqcos(q0+)ω2gRΔqsin(q0+)dv=ωmRsinqcosq2mgsinqmdt=ddtq22sinqcosqω2gRsinqd=mRdtq2Δq因为很小+Δqsin(q0+)cosq0sinq0ΔqΔqcos(q0+)sinq0cosq0Δq将这两式代入上式可得：返回结束=ddt22Δq()()+cosq0sinq0Δqsinq0cosq0Δq()ω2gR+cosq0sinq0Δq()g=cosq0sinq