1.4三角函数的图象与性质(3课时)

1.4.1正弦、余弦函数的图象三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正切线AT1.4.1正弦、余弦函数的图象yxxO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT正弦线MP余弦线OM复习回顾正弦、余弦函数的图象问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。y=sinxx[0,2]O1Oyx33234352-11y=sinxxR终边相同角的三角函数值相等即：sin(x+2k)=sinx,kZ)()2(xfkxf描图：用光滑曲线将这些正弦线的终点连结起来利用图象平移AB正弦、余弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41y=sinxx[0,2]y=sinxxR正弦曲线yxo1-122322x6yo--12345-2-3-41正弦、余弦函数的图象余弦函数的图象正弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41y=cosx=sin(x+),xR2余弦曲线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)正弦曲线形状完全一样只是位置不同如何由正弦函数图像得到余弦函数图像？正弦、余弦函数的图象yxo1-122322(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)五点画图法五点法——(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)正弦、余弦函数的图象例1（1）画出函数y=1+sinx，x[0,2]的简图：xsinx1+sinx22302010-1012101o1yx22322-12y=sinx，x[0,2]y=1+sinx，x[0,2]步骤：1.列表2.描点3.连线正弦、余弦函数的图象（2）画出函数y=-cosx，x[0,2]的简图：xcosx-cosx2230210-101-1010-1yxo1-122322y=-cosx，x[0,2]y=cosx，x[0,2]已知三角函数值求角已知求3sin2x22322523yO23225311已知三角函数值求角已知求3sin23sin60260一定吗？3sin420sin(60360)23sin780sin(602360)2归纳60360,kkZ3sin(300)sin(60360)2还有其他吗？120360,kkZ3sin1202{|60360120360,}kkkZ或（1）在一个区间里找两个代表（2）分别加上2kπ已知三角函数值求角已知求的范围。3sin23sin6023sin1202x22322523yO23225311]120,60[360.k360.kZk1.4.2正、余弦函数的性质(2,0)(,-1)23(,0)(,1)2要点回顾.正弦曲线、余弦函数的图象1)图象作法---几何法五点法2)正弦曲线、余弦曲线x6yo--12345-2-3-41余弦曲线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)x6yo--12345-2-3-41正弦曲线(0,0)（1）定义域：x∈R（2）值域：y∈[-1，1]新课讲解.正弦函数、余弦函数的性质注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.周期性的定义对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.(一)关于周期性例：求下列函数的周期)621sin(2)3(,2sin)2(,cos3)1(xyRxxyRxxy解:(1)∵cos(x+2π)=cosx,∴3cos(x+2π)=3cosx∴函数y=3cosx，x∈R的周期为2π(2)设函数y=sin2x,x∈R的周期为T，则sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x∵正弦函数的最小正周期为2π,∴(2)设函数的周期为T，则Rxxy),621sin(2∵正弦函数的最小正周期为2π,∴621sin221621sin26)(21sin2xTxTxy4212221TT得∴函数的周期为4πRxxy),621sin(22222TT得∴y=sin2x,x∈R的周期为π新课讲解.正弦函数、余弦函数的性质例3.求下列函数的周期：1)sin()32)cos313)3sin(),35yxyxyxxR一般结论：sin()cos(),2(,,,0,)yAxyAxxRAATw函数及为常数的周期---利用结论P36.ex.1.2新课讲解.正弦函数、余弦函数的性质结论：(二)关于奇偶性（复习）一般地,•如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)，那么就说f(x)是偶函数•如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)，那么就说f(x)是奇函数1、__________，则f（x）在这个区间上是增函数.)()(21xfxf4.正弦余弦函数的单调性函数(),yfx若在指定区间任取，12xx、且，都有：21xx函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、__________，则f（x）在这个区间上是减函数.)()(21xfxf增函数：上升减函数：下降探究：正弦函数的单调性]2523[]22[]23,25[，、，、当在区间……上时，x曲线逐渐上升，sinα的值由增大到。11753357[,][][][,]22222222…、，、，、…当在区间x上时，曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11x22322523yO23225311探究：正弦函数的单调性x22322523yO23225311正弦函数在每个闭区间)](22,22[Zkkk都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间3[2,2]()22kkkZ上都是减函数，其值从1减小到－1。探究：余弦函数的单调性[3,2][0][2][3,4]、，、，当在区间x上时，曲线逐渐上升，cosα的值由增大到。11曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11[2,][0][23]、，、，当在区间x上时，x22322523yO23225311探究：余弦函数的单调性x22322523yO23225311由余弦函数的周期性知：其值从1减小到－1。而在每个闭区间上都是减函数，[2,2]kk其值从－1增大到1；在每个闭区间[2,2]kk都是增函数，分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的单调性，但需要考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一单调区间后再作判断。)18sin()10sin(53cos523cos)523cos()2(、4cos417cos)417cos(例4：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小1sin()sin()1810、与)417cos()523cos(2与、解：上增函数。在且、]2,2[sin,2181021xy上是减函数在且],0[cos,5340xy4cos53cos2317cos()cos()054x22322523yO23225311练习先画草图，然后根据草图判断x22322523yO23225344xysin4],[x练习x22322523yO23225311x(1)sin0:x22322523yO23225311(0,)2k2k(2)sin0:x()0,2k2k(1)cos0:x()22,2k2kkZkZkZ(2)cos0:x(22,3)2k2kkZ5.正弦函数的最大值和最小值最大值：2x当时，有最大值1yk2最小值：2x当时，有最小值1yk2x22322523yO23225311探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：0x当时，有最大值1yk2最小值：x当时，有最小值1yk2x22322523yO23225311231sin21xy123xz解：令11sin22要使有最，大值zy必须2,2zkkz12322kx43xk使原函数取得最大值的集合是|4,3kkZxx11sin22要使有最，小值-zy必须2,2zkkz12322xk543kx使原函数取得最小值的集合是5|4,3xkkZx1.求函数的最大值和最小值31sin226yx因为有负号，所以结论要相反3sin2yz的最大值最大sinyz最小练习：求函数正弦函数的单调性及单调区间x22322523yO23225311正弦函数的增区间是)](22,22[Zkkk减区间是3[2,2]()22kkkZ余弦函数的单调性级单调区间x22322523yO23225311余弦函数的增区间是[2,2]()kkkZ减区间是[2,2]()kkkZ例5.求函数的单调递增区间123sinyxsinyz2222zkk1222223xkk54433kxk4,433,5kkkZy=sinz的增区间原函数的增区间求函数的单调增区间5334,4kk12sin,[2,23]xyx1,k221711,330,k5,331,k711,33√求函数的单调增区间1sin23yxsinyz32222zkk12322232xkk5114433xkk4,4133,51kkkZ增减减增变式练习求函数的单调增区间1sin23yx增为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来sin()si