隧道效应毕业论文

本科毕业设计(论文)题目名称：隧道效应英文名称：TunnelEffect学院：物理学院专业年级：物理专业05级学生姓名：班级学号：指导教师：二00九年六月一日I摘要薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926年,它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的基本假设之一。本文将介绍建立薛定谔方程的主要思路以及应用薛定谔方程的基本方法解决隧道效应的相关问题，及其隧道效应的应用。关键词：薛定谔方程；定态薛定谔方程；隧道效应隧道效应IIAbstractSchrödingerproposedthebasicequationsofquantummechanicsin1926,itisanon-relativisticwaveequation.Itreflectsthestatusdescriptionofthemicro-particlesofthelawchangesovertime.ItsstatusinquantummechanicsisoneofthebasicassumptionswhichisequivalenttoNewton'slawtotheclassicalmechanics.ThisarticlewillintroducethemainideasoftheeatablishmentoftheSchrodingerequationandndtheapplicationofSchrodingerequationtosolvethebasicissuesrelatedtothetunnelingeffect,tunnelingeffectanditsapplications.Keywords:Schrödingerequation；stationarySchrödingerequation；Tunneleffect隧道效应III目录中文摘要……………………………………………………………………………I英文摘要……………………………………………………………………………Ⅱ目录……………………………………………………………………………Ⅲ引言……………………………………………………………………………11.薛定谔方程引入及其重要意义………………………………………………21.1自由粒子的薛定谔方程……………………………………………………………21.2推广到三维的一般情况……………………………………………………………32.定态薛定谔方程的推导…………………………………………………………………53.隧道效应……………………………………………………………………………73.1隧道效应的发现……………………………………………………………73.2隧道效应的定义及其讨论……………………………………………………73.3隧道效应的透射系数和反射系数………………………………………………93.4隧道效应的应用……………………………………………………………103.4.1.放射性a（粒子）衰变…………………………………………………103.4.2.隧道二极管…………………………………………………………………113.4.3.扫描隧道显微镜……………………………………………………………11总结…………………………………………………………………………14致谢…………………………………………………………………………15参考文献…………………………………………………………………………161引言薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926年,它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的基本假设之一。本文将介绍建立薛定谔方程的过程以及应用薛定谔方程的解决隧道效应的过程，及其隧道效应的应用。隧道效应2第1章、薛定谔方程引入及其重要意义由于薛定谔方程是量子力学的基本方程,它就不能由其它原理推导出来,它的正确性只能靠实验来检验。1.1自由粒子的薛定谔方程[1]沿x轴方向运动的自由粒子,其波函数是平面波:EtrpiAetr,,（1.1-1）它是所要建立的方程的解。将（1.1-1）式对时间求偏微商，得到Eit.（1.1-2）但是这不是我们所要求的方程，因为它的系数中还含有能量E0再把（1.1-1）式对坐标求二次偏微商，得到2222-∂∂xpx,同理有2222-∂∂ypy.2222-∂∂zpz.将以上三式相加，得222222222pzyx.（1.1-3）利用自由粒子的能量和动量的关系式：22PE,（1.1-4）式中µ是粒子的质量。比较（1.1-2）和（1.1-3）两式，我们得到自由粒子波函数所满足的微分方程：隧道效应3222ti,（1.1-5）它满足条件:（1）方程是线性的，即如果Ψ1和Ψ2都是这个方程的解，那么Ψ1和Ψ2的线性迭加aΨ1+bΨ2也是方程的解，这是因为根据态迭加原理，如果Ψ1和Ψ2都是粒子可能的状态，那么aΨ1+bΨ2也应是粒子的可能状态;(2)这个方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被各种可能的状态所满足。（1.1-2）和（1.1-3）两式可改写为如下形式：tiE，（1.1-6）)-()-()(iipp，（1.1-7）式中是劈形算符：zkyjxi∂∂∂∂∂∂.由（1.1-6）和（1.1-7）式可以看出，粒子能量E和动量p各与下列作用在波函数上的算符相当：tiE，iP.（1.1-8）这两个算符依次称为能量算符和动量算符。把（1.1-4）式两边乘上，再以（1.1-8）式代入，即得微分方程（1.1-5）。现在利用关系式（1.1-8）来建立在力场中粒子波函数所满足的微分方程。设粒子在力场中的势能为)(rU。在这情况下，粒子的能量和动量的关系式是rUpE22.（1.1-9）上式两边乘以波函数),(tr所满足的微分方程rUti222.（1.1-10）这个方程称为薛定谔波动方程，或薛定谔方程。也常简称为波动方程，它描写在势场)(rU中粒子状态随时间的变化。1.2推广到三维的一般情况[1]隧道效应4粒子波函数为zyx,,势能为tzyxUU,,,同上可得薛定谔方程为Uzyxti22222222隧道效应5第2章、定态薛定谔方程的推导[1]如果rU不含时间，薛定谔方程的解可以用分离变量法进行一些简化。考虑这方程的一种特解：tfrtr,.（2-1）薛定谔方程的解可以表示为许多这种特解之和。将（2-1）式代入薛定谔方程中，并把方程两边用)f(t)r(去除，得到])(2[122rUdtdffi.因为这个等式的左边只是t的函数，右边只是r的函数，而t和r是互相独立的变量，所以只有当两边都等于同一常量时，等式才能被满足。以E表示这个常量，则由等式左边等于E，有Efdtdfi.（2-2）由等式右边等于E，有ErU222.（2-3）方程（2-2）的解可以直接得出：tiECetf)(,C为任意常数。将这个结果代入（2-1）式中，并把常数C放到)(r里去，这样就得到薛定谔方程rUti222的特解tiEertr)(),(.（2-4）这个波函数与时间的关系是正弦式的，它的角频率E。按照德布罗意关系，E就是体系处于这个波函数所描述的状态时的能量。由此可见，体系处于（2-4）式所描写的状态时，能量具有确定值，所以这种状态称为定态。（2-4）式称为定态波函数。隧道效应6在定态在中，几率密度和几率流密度都与时间无关。函数)(r由方程（2-3）和在具体问题中波函数应满足的条件得出。方程（2-3）称为定态薛定谔方程。函数)(r也称为波函数，因为知道)(r后，由（2-4）式就可以求出),(tr。对一维定态问题便退化为一维定态薛定谔方程:02222UEr波函数本身及其一阶导数必须是单值、连续和有限的,这称为波函数的标准条件。薛定谔方程是线性、齐次的微分方程,所以满足叠加原理。定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态。隧道效应7第3章、隧道效应3.1.隧道效应的发现[2]美国固体物理学家加埃沃在超导电性研究中取得的一个重要成就，1960年完成。加埃沃把两块金属电极中间夹一层很薄的绝缘层(10—7厘米数量级)的结构叫做隧道结。根据量子力学原理，电子可以通过这样薄的绝缘层，当给隧道结两端加电压时就能产生电流。对于一个电极是超导体的隧道结，当所加电压可使电子能量超过其能隙宽度时，在温度远低于超导体临界温度的情况下，电子可以通过结，从而使电流陡然上升。这便是超导体的单电子隧道效应。加埃沃由于这一发现而与半导体隧道二极管的发明者江崎玲於奈以及约瑟夫森共同获得瑟夫森共同获得1973年获诺贝尔物理学奖。3.2.隧道效应的定义及其讨论[3]设一个质量为m的粒子，沿x轴正方向运动，其势能为U0这种势能分布称为一维势垒。粒子在x＜0区域里，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒达到x＞a区域。在量子力学中，情况又如果呢？为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域Ⅰ0x,Ⅱax0,Ⅲax在各个区域的波函数分别表示为1、2、3。当当当),()(212122xEdxxdm0≤x),()()(22202222xExUdxxdmax≤≤0),()(232322xEdxxdmax≥ⅡIIIIV0UOax隧道效应80VVaoxIIIIII令三个区间的薛定谔方程可简化为方程的通解为：ikxikxeAAe'1xikxikeBBe11'2ikxikxeCCe'3将上面的三个式子乘以因子：Etie，可知：三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第二项为沿x负方向传播的平面波。1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被“界面（x=0）”反射的反射波。2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被“界面（x=a）”反射的反射波。利用波函数“单值、有限、连续”的标准条件，可得：求出解的形式画于图中。讨论：（1）EU0按照经典力学观点,在EU0情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射。而在微观粒子的情形，却会发生反射。（2）EU0从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数2。即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时，在xa区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入xa区域。222mEk2021)(2EUmkaxxkdxxd0,0)()(2212220,0)()(12212xxkdxxd)0()0(210201|)(|)(xxdxxddxxd)()(32aaaxaxdxxddxxd|)(|)(32axxkdxxd,0)()(32232隧道效应9粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。定义粒子穿过势垒的贯穿系数：透射波的概率密度与入射波概率密度的比值。02-)2-()0()()0()(1exp1exp22222123kTakTaaDEUmakaee01222结果表明：势垒高度U0越低、势垒宽a度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。如果a或m为宏观大小时，D→0，粒子实际上将不能穿过势垒。当U0-E=5ev时，势垒的宽度约50nm以上时，贯穿系数会小六个