第三章 杆梁结构的有限元分析原理

第3章杆系结构的有限元法1杆、梁单元概述讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统.从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件承受轴力或扭矩的杆件成为杆杆梁问题都有精确解（且是唯一的）承受横向力和弯矩的杆件称为梁平面桁架平面刚架连续梁空间刚架空间桁架等承受轴力或扭矩的杆件称为杆将承受横向力和弯矩的杆件称为梁变截面杆和弯曲杆件2本章主要内容33.1有限元分析的完整过程3.2局部坐标下的杆单元分析3.3杆单元整体坐标下的有限元分析3.4等效结点荷载及边界条件处理3.5分析实例3.1有限元分析的完整过程E1=E2=2E7PaA1=A2=2cm2l1=l2=10cmP3为10N作用下二杆结构的变形。4E1、A1E2、A2说明：u1、u2、u2分别表示节点1、2、3的水平位移1）用标准化的分段小单元来逼近原结构2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场3）基于位移场的最小势能原理来求解基本变量为：节点位移内部各点位移应变应力(1)(3)(2)5问题的解题思路完整的求解过程1）结构离散化该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散单元给出节点编号和单元编号。单元1：i=1，j=2单元2：i=2，j=36单元位移模式：u(x)=a0+a1x单元节点条件：u(0)=u1，u(l)=u2将式（b）代入式（a），从而得01,1,2jiieuuauaijl72）单元分析（a）（b）回代得写成矩阵形式为01()1jiieijeeiijjuxaaxuuuxlxxuullNuNuiiujujeuNNuNuu其中Ni，Nj是形函数。形函数矩阵8说明：u表示位移列阵ue表示单元位移根据几何方程可得单元应变的表达单元应变写成矩阵形式为简记为211d1dxjieuuuauuxll111iiiujuejjuuNNuuleBuε几何函数矩阵或者是应变转换矩阵9根据物理方程可得单元应力的表达单元应力写成矩阵形式为简记为ddxxjieuEEEuuxleSuσ单元应力矩阵或者是应力转换矩阵11iiiujuejjuuEENNuul节点位移列阵10单元e势能的表达1122T11220TT11220TT11221d21d21d212eeeeeeTeeleeeleeeeeeeUWPuPuBuSuAxPuPuuBEBuAxPuPuuBEBuAlPuPu11说明积分域，P1、P2、分别表示作用单元e上的节点在u1、u2的力eeSueeBueeUW分别为形变势能和外力势能写成矩阵形式为TT11221112122211121222TT12111111121212eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeuBEBuAlPuPuuuuuEAlPPuullEAEAuulluuPPuuEAEAllKF单元e刚度矩阵单元e节点力列阵12在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分121T112T221T12T2112211222211121233112233221122111111123112110022012equKuuKuPuPuEAEAEAEAuuuulllluuRuuFuuuuEAEAEAEAllllEAEAllEAEAuuull1122213212222332200uuEAEAuRFulluuEAEAll133）离散单元的装配处理边界条件是获取可能位移场，将左端的约束条件，即u1=0代入上式可以得到简化的势能表达式121T112T221T12T21221222223322332212102euKuuKuPuPuEAEAEAuullluuFuuEAEAll144）边界条件的处理由于上式是基于许可位移场的表达的系统势能，这是由全部节点位移分段所插值出的位移场为全场许位移场，且基本未知量为节点位移，根据最小势能原理（即针对未知位移求一阶变分）有12212222233220EAEAEAullluFEAEAll155）建立刚度方程120e将结构参数和外载荷代入上式有求解得（单位m）2222222332230EAEAulluFEAEAll233102E41110uu232.5E47.5E4uu166）求解节点位移7）计算单元应变111121112.5E3iiujujuNNuuul2222231115E3iiujujuNNuuul178）计算单元应力11112110.05MpaiiujujuENNuuEul222223110.1MpaiiujujuENNuuEul18对于单元势能的表达，对其取极值有具体地对于单元1，有其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即单元2对该节点的作用力，将前面求得的节点位移代入上式可得支反力大小。eeeKuF1111221111uREAuPl199）计算支反力以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于复杂结构，其求解过程完全相同，由于每一个步骤都具备标准化和规范性的特征，所以可以在计算机上编程而自动实现。讨论1：对于一个单元的势能取极值，所得到的方程为节点的位移和节点力之间的关系，也称为单元的平衡关系，由此可以求出每一个单元所受的节点力。20讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各个单元的刚度矩阵按照节点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边界条件之前，先形成整体刚度矩阵。其物理意义是，表示在未处理边界条件前的基于节点描述的总体平衡关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就可以求解，这样与先处理边界条件再求系统势能的最小值所获得的方程完全相同。KUF21小结有限元分析的基本步骤及表达式1、物体几何区域的离散化2、单元的研究（所有力学信息都用节点位移）来表达3、装配集成4、边界条件的处理并求解节点位移5、支反力的求取以及其它力学量（应力、应变及位移三大物理量）的计算eBueFNFeSueeeKuF22有限元分析的基本步骤及表达式2324一拉压杆单元q(x)FiFjuiujyxij图2.1拉压杆单元示意图设杆单元长度为，横截面面积为，单元材料的弹性模量为，在局部坐标系中杆端荷载分别为和，杆端位移分别为和，单元上的轴向分布荷载为。lAEiFjFiuju()qx3.2局部坐标下的杆单元分析25用结点位移表示单元上任意截面的位移。对拉压杆单元，可以取其位移为一次多项式，即由位移的边界条件：可得系数、为：这样，截面任意一点的位移为：用矩阵表示为：其中u()uxabx(0)iuu()juluabiaujiuubl()(1)ijxxuxuulliiijjijjuuNuNuNNuNδⓔ1ixNl={,}TjijxNuulδⓔ（3-1）（3-2）①单元位移模式。26根据材料力学中应变的定义，有这里为应变矩阵。由虎克定律，其应力为：11ijdudBBdxdxllNδδδBδⓔⓔⓔⓔ11llBEEBδSδⓔⓔ（3-4）（3-3）②进行应力、应变分析EEEllSB其中27利用虚位移原理求单元刚度矩阵，设杆端i、j分别产生虚位移、，则由此引起的杆轴截面任意位置的虚位移为：对应的虚应变为：根据虚位移原理虚功方程（力乘以虚位移得虚功、外力虚功等于变形虚功），有：将上式整理得：iujuTiiuuuNNδⓔBδⓔ000()lTdllTTWqxdxWAdxEAdxFδNδδBBδ外变ⓔⓔⓔⓔⓔ00()TllTTTdqxdxEAdxFNδδBBδⓔⓔⓔⓔ（3-5）（3-6）③求单元刚度矩阵28式中：为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。记则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为：这里为局部坐标系下的单元刚度矩阵，为局部坐标系下等效结点荷载矩阵，但值得指出的是：分布荷载中可以包含集中荷载。根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为：TdijFFFⓔ0()lTEqxdxFNⓔ0lTEAdxkBBⓔdEFFFkδⓔⓔⓔⓔⓔkⓔEFⓔ()qx1111EAlkⓔ（3-10）（3-7）（3-8）（3-9）等效结点荷载29二扭转杆单元m(x)MiMjyxijji图2扭转杆单元示意图设扭转杆单元的长度为，截面惯性矩为，剪切模量为，杆端扭矩分别为、，杆端扭转角分别为、，单元上的分布荷载集度为，则任意截面的扭转角为位移函数求得如（一）lIGiMjMij()mx(1)ijxxllNδⓔ式中为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵Tijδⓔ（3-11）30由材料力学可知，截面扭矩为：式中：我们利用极小势能原理来进行单元分析，杆单元的势能用泛函表示为：dMGIGIdxBδⓔ11ddxllNB00001()()21(())2llTTpdllTTTddMdxmxdxdxGIdxmxdxFδδBBδNFδⓔⓔⓔⓔⓔⓔ内力势能外力势能其中为局部坐标系下扭转杆单元的结点集中荷载矩阵TdijMMFⓔ（3-12）31由极小势能原理，取上述泛函的变分，可得：或者写为：设：可得扭转杆单元的单元刚度方程为：可以看到，其形式与拉压杆单元的单元刚度方程完全一致。同样，由上式可以进一步求得其局部坐标系下得单元刚度矩阵为：0p00()llTTTdGIdxmxdxδBBNFⓔⓔ00()()llTTdGIdxmxdxBBδNFⓔⓔ0lTGIdxkBBⓔ0()lTEmxdxFNⓔdEFFkδⓔⓔⓔⓔ1111GIlkⓔ（3-13a）（3-13b)（3-14、3-15）（3-16）（3-17）等效结点荷载32三只计弯曲的杆单元q(x)MiMjFyiFyjvivjyxm(x)ijji设杆单元的长度为，截面惯性矩为，弹性模量为，杆端集中剪力为、，杆端集中弯矩分别为、，杆端横向位移为、，杆端扭转角分别为、，在单元上分布有荷载集度为的竖向分布荷载和集度为的分布力偶。lIEyiFyjFiMjMivjvij()qx()mx33根据梁的平截面假定可知平面纯弯梁单元的轴向应变为：这里利用平截面假设（变形后横截面仍保持平面，与纵线正交）如图：22223322dxvdEyEdxvdydxvdEIQ