泛函分析题目集

泛函分析复习题一．选择题：1.设},,,,{21neee是希尔伯特空间H上的一组规范正交系，则下列论断未必正确的是()A.},,,,{21neee线性无关；B.对任何的Hx，都有122|),(|nnxex；C.任意两组数Naaa,,,21，Nbbb,,,21都有NnnnNnNnnnnnbaebea111,；D.jijieeji,0,1,，,3,2,1,ji。2.下列关于pL空间（1p且2p）的论述不正确的是（）A.pL空间是一个赋范线性空间；B.pL空间是完备的；C.pL空间是距离空间；D.pL空间是希尔伯特空间。3.下列关于2L空间的论述不正确的是（）A.2L空间是一个赋范线性空间；B.2L空间不一定完备的；C.2L空间是内积空间；D.2L空间是可分的。4.设X为一个实赋范线性空间，为他上面的范数，则下面不正确的是（）A.对任何Xx，都有0x，B.对任何Xx，Ra都有xaax||，C.对任何Xx，Xy，都有222yxyx，D.对任何Xx，Xy，都有yxyx。5.设X为一个距离空间，下面不正确的是（）A.X和空集都是开集；B.任意多个开集的并还是开集；C.任意多个开集的交也是开集；D.有限多个开集的交也是开集。6.设X为一个距离空间，下面不正确的是（）A.X和空集都是闭集；B.任意多个闭集的并还是闭集；C.任意多个闭集的交也是闭集；D.有限多个闭集的并也是闭集。7.下面论述正确的是（）A.紧集不一定是有界的。B.紧集的子集一定是紧集。C.任一距离空间中的紧集本身是一个完备的距离空间。D.连续映射有可能将紧集映成非紧集。8.下面为不可分距离空间的是（）A．],[baLB.],[baLp(p1)C.],[baCD.nR9.设R为实数域，'1pp，那么下面正确的是（）A.)()('RLRLppB.)()('RLRLppC.)()(RLRLpD.)(RLp与)('RLp之间没有相互包含关系。10.设Rba],[为有界闭区间，'1pp，那么下面正确的是（）A.],[],['baLbaLppB.],[],['baLbaLppC.],[],[baLbaLpD.],[baLp与],['baLp之间没有相互包含关系。二．判断题：1.任何紧集都是有界的。（）2.紧集的子集还是紧集。（）3.希尔伯特空间不一定是巴拿赫空间。（）4.实的可分希尔伯特空间一定与实的2l空间同构。（）5.可分希尔伯特空间中的规范正交系中向量最多可数个。（）6.设],[ba为实数域上的闭区间，那么],[baC在],[baLp（p1）中稠密。（）7.设],[ba为实数域上的闭区间，],[baP为],[ba区间上的所有多项式函数的集合，那么],[baP在],[baLp（p1）中不稠密。（）8.设],[ba为实数域上的闭区间，],[baP为],[ba区间上的所有多项式函数的集合，那么],[baP在],[baC中稠密。（）9.同一个线性空间可以赋予不同的范数，但是这些不同的范数一定是等价的。（）10.nR可以赋予不同的范数，但是这些不同的范数一定是等价的。（）三．概念题：1.什么是距离空间？举两个距离空间的例子。2.什么是赋范线性空间和巴拿赫空间？举两个巴拿赫空间的例子。3.什么是距离空间中的准紧集和紧集？4.什么是内积空间和希尔伯特空间？举两个希尔伯特空间的例子。5.内积空间的规范正交系的定义什么？6.写出pL（1p）空间中范数的定义。7.什么是赫尔德不等式？8.什么是距离空间的可分性？四．计算或证明题：1.设H是一个希尔伯特空间，M为H的一个子集。证明M是H的一个闭子空间。（下册P98）2.设),(1Lf，证明f的傅里叶变换是有界连续函数。（上册P251）3.设),(X为一个距离空间。试证：（1）若X中点列}{nx收敛于x，则任何子列}{knx也收敛于x。（2）若X中点列}{nx为一个Cauchy列，并且存在一个子列}{knx收敛，极限为x，则}{nx也收敛，极限也为x。（下册P12）4.设),(X为一个距离空间，Xx0为任一给定的点，则),()(0xxxf是X到R的连续映射。（下册P20）5.设H为一个希尔伯特空间，其上的内积为),(。试证：对于,HxHy，),(yx是关于x，y的连续函数。（下册P89）6.试在],[baC上定义一个范数（给出证明），使其成为一个巴拿赫空间（给出证明）。（下册P75，P77）7.设H为一个希尔伯特空间，Hyx,，证明：yx的充分必要条件是对任何的数a，有xayx。（下册P123习题23）8.设p，q，r为满足1111rqp的三个正数。证明：对任何可测函数f，g，h有rqpEhgfdmfgh||。（上册P269，15题）9.计算函数2/2)(xexf的傅里叶变换。（上册P250）10.举一个不可分巴拿赫空间的例子？并证明它为什么不可分。（下册P18，例5，或下册P120，习题5）11.证明内积空间中的任何规范正交系都是线性无关的。（下册P123，28题）12.设空间],[baC中的范数为|)(|max],[txxbat（],[baCx）。证明此范数下不能导出一个内积。（下册P97，例5）13.设E为一个赋范线性空间，其上的范数为，证明以下命题：（1）范数x是Ex的连续函数；（2）设nx，ny（,3,2,1n）与yx,都是E中的元素，且xxn，yyn，那么yxyxnn；（3）设数列aan}{，nx（,3,2,1n）及x都是E中的元素，且xxn，那么axxann.（下册P73，性质(i)(ii)(iii)）14.设X按照距离为距离空间，XF非空。令),()(infyxxfFy（Xx）.证明)(xf是X上的连续泛函。（下册P63，习题4）15.设X按照距离为距离空间，}{nx为X中的收敛点列，证明：（1）}{nx的极限唯一；（2）对任意的Xy0，数列)},({0yxn有界。（下册P11，定理1.1）