泛函分析考试题

某某大学考试题课程名称：泛函分析队别：班次：姓名：第1页共2页1、写出下面定义或结论（每个5分）：a）两个集合具有相同基数的定义；b）度量空间Cauchy序列的定义；c）泛函序列弱*收敛的定义；d）开映射定理.2、定义2:Rf，使得1()nnnfxx其中2。证明：f是有界的并计算f的范数f.3、X是赋范线性空间，,xyX是两个给定向量。证明：如果对任意有界线性泛函*fX都有()()fxfy，则xy.4、在[,]Cab中定义范数[,]||||max|()|tabxxt证明：如序列{}[,]nxCab弱收敛到[,]xCab，即wnxx，n，则序列{}nx在[,]ab上处处收敛到x，即对任意[,]tab，lim()()nnxtxt。5、在2中定义线性算子序列{}nT，22:nT：对212,,,,nx，12(),,,,nnnnTx证明：a）nT强收敛到零算子；b）nT不一致收敛到零算子.6、证明：在实内积空间中，xy当且仅当对任意实数，都有||||||||xyx.7、设M是内积空间X中的非空子集，证明：M的正交补是X的闭子空间。8、证明Bessel不等式：设123,,,eee是Hilbert空间的规范正交集，证明，对任意xX，221|,|.nnxex9、X是Banach空间，{}nfX是有界泛函序列。如果对任意的xX都有1()nnfx，证明存在0，使得1()nnfxx.（2-9题每题10分）