最短路径问题------专题练习

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ABCDABABLABCD中考数学路径最短问题专题训练一、具体内容包括:蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题;线段(之和)最短问题;二、原理:两点之间,线段最短;垂线段最短。(构建“对称模型”实现转化)三、例题:例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处,则它爬行的最短路径是。②如右图是一个长方体木块,已知AB=3,BC=4,CD=2,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处,则蚂蚁爬行的最短路径是。例2、①如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。②如图,直线L同侧有两点A、B,已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置,并计算PA+PB的最小值。四、练习题(巩固提高)(一)1、如图是一个长方体木块,已知AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处,则蚂蚁爬行的最短路径是。2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度忽略不计),圆柱体高为6cm,底面圆周长为16cm,则所缠金丝带长度的最小值为。3、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到B处吃到食物,圆柱体的高为5cm,底面圆的周长为24cm,则蚂蚁爬行的最短路径为。张村李庄第2题AABAB第1题第3题图(2)EBDACP图(3)DBAOCP4、正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为。第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,点E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为。6、如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值为_______。7、AB是⊙O的直径,AB=2,OC是⊙O的半径,OC⊥AB,点D在AC上,AD=2CD,点P是半径OC上的一个动点,则AP+PD的最小值为_______。(二)8、如图,点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连接CD,交OA于M,交OB于N,若CD=18cm,则△PMN的周长为________。9、已知,如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E,且AC=5,BC=8,则△AEC的周长为__________。10、已知,如图,在△ABC中,AB<AC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AC=8,△ABE的周长为14,则AB的长。11、如图,在锐角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是____.12、在平面直角坐标系中,有A(3,-2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n=时,AC+BC的值最小.CDABEFP第11题第14题第15题13、△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,E、F是垂足,则EF的最小值等于.14、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点,则PE+PF的最小值为___________.15、如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设⌒⌒⌒一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).(1)求该函数的解析式;(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.(三)16、如图,已知∠AOB内有一点P,试分别在边OA和OB上各找一点E、F,使得△PEF的周长最小。试画出图形,并说明理由。18、几何模型:条件:如图,A、B是直线L同旁的两个定点.问题:在直线L上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:作点A关于直线l的对称点A,连结AB交l于点P,则PAPBAB的值最小(不必证明).模型应用:(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连结BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PBPE的最小值是___________;(2)如图2,O⊙的半径为2,点ABC、、在O⊙上,OAOB,60AOC°,P是OB上一动点,求PAPC的最小值;(3)如图3,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.19、问题探究(1)如图①,四边形ABCD是正方形,10ABcm,E为边BC的中点,P为BD上的一个动点,求PCPE的最小值;(2)如图②,若四边形ABCD是菱形,10ABcm,45ABC°,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PCPE的最小值;问题解决(3)如图③,若四边形ABCD是矩形,10ABcm,20BCcm,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PCPE的最小值;OABPRQ图3ABECBD图1OABC图2PABA′PlADBCADBCEPACDB20.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转120。,得到线段OB.(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)21、如图,抛物线2yaxbxc的顶点P的坐标为4313,,交x轴于A、B两点,交y轴于点(03)C,.(1)求抛物线的表达式.(2)把△ABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC.判断四边形ADBC的形状,并说明理由.(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得△FBD的周长最小,若存在,请写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.22.已知:直线112yx与y轴交于A,与x轴交于D,抛物线212yxbxc与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形且以P为直角顶点时,求点P的坐标.(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使||AMMC的值最大,求出点M的坐标.DOxyBEPACyxODEABC

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