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学案7空间向量及其运算返回目录1.空间向量（1）定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有和的量叫做空间向量，向量的叫做向量的长度或模.大小方向大小返回目录（3）特殊向量①零向量:我们规定，的向量叫做零向量，记为.②单位向量：的向量称为单位向量.③相反向量：，称为a的相反向量，记为-a.（2）表示方法：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模.如图所示，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为或.|a||AB|长度为00模为1与向量a长度相等而方向相反的向量④相等向量：的向量称为相等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的数乘运算（1）定义：实数λ与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算.（2）向量a与λa的关系①当λ0时，λa与a方向.②当λ=0时，λa=.③当λ0时，λa与a方向.④λa的长度是a的长度的倍，即|λa|=.返回目录方向相同且模相等λa相同0相反|λ||λ||a|（3）运算律①分配律：λ(a+b)=.②结合律：λ(μa)=(λμ)a.3.共线向量（1）共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做共线向量或平行向量.（2）共线向量定理对于空间任意两个向量a,b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ,使.（3）共线向量的推论返回目录λa+λb互相平行或重合a=λb如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+ta①,其中a叫做直线l的.如图所示，若在l上取AB=a，则①式可化为OP=.4.共面向量（1）共面向量的定义：通常把的向量，叫做共面向量.（2）共面向量定理：返回目录方向向量OA+tAB平行于同一个平面如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y)，使p=xa+yb.（3）共面向量定理的推论：如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使MP=.或对空间一点O来说，有OP=OM+xMA+yMB.5.两向量的夹角已知两个向量a,b,在空间任取一点O，作OA=a,OB=b，则叫做向量a与b的夹角，记作，范围为，如果a,b=，则称a与b,记作.返回目录xMA+yMB非零∠AOBa,b［0,π］互相垂直a⊥b2π6.数量积的定义已知两个非零向量a,b，则叫做a,b的数量积，记作a·b，即a·b=.零向量与任何向量的数量积为0.特别地，a·a==.7.数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律：（1）(λa)·b=λ(a·b);（2）a·b=b·a（交换律）；（3）a·(b+c)=a·b+a·c（分配律）.返回目录|a|·|b|·cosa,b|a|·|b|cosa,ba2|a|28.空间向量基本定理定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z}，使得.由此可知，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.返回目录p=xa+yb+zc{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}{a,b,c}a,b,c9.空间向量的正交分解及其坐标表示设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量（我们称它们为单位正交基底），以e1，e2,e3的公共起点O为原点，分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz.那么，对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP=p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x,y,z}，使得p=xe1+ye2+ze3.我们把x,y,z称作,记作.此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系O—xyz中的坐标(x,y,z).返回目录向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标p=(x,y,z)10.空间向量的坐标运算若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)，则(1)a+b=;(2)a-b=;(3)λa=(λ∈R);(4)a·b=;(5)a∥b,,,;(6)a⊥b,;(7)|a|=;返回目录232221aaa++=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)（λa1,λa2,λa3）a1b1+a2b2+a3b3a=λba1=λb1a2=λb2a3=λb3a·b=0a1b1+a2b2+a3b3=0a·a⇔⇔⇔⇔(8)cosa,b==.11.空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2)，则（1）AB=;（2）dAB=|AB|=.返回目录(a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c1)2|b|·|a|a·b232221232221332211bbbaaabababa++++++(a2-a1,b2-b1,c2-c1)返回目录如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1.考点一空间向量的线性运算返回目录【解析】（1）∵P是C1D1的中点，∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+D1C1=a+c+AB=a+c+b.(2)∵N是BC的中点,∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+BC=-a+b+AD=-a+b+c.【分析】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可.212121212121（3）∵M是AA1的中点，∴MP=MA+AP=A1A+AP=-a+a+c+b=a+b+c，又NC1=NC+CC1=BC+AA1=AD+AA1=c+a，∴MP+NC1=a+b+c+a+c=a+b+c.返回目录2121212121212121212121212323返回目录【评析】用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.＊对应演练＊由线段中点的向量表示式，得OG=OM+MG=OM+MN=OA+（MO+OC+CN）=a+[-a+c+(b-c)]=a-a+c+b-c=a+b+c.已知空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN，设OA=a,OB=b,OC=c,试用基底{a，b，c}表示向量OG.213232213221212131323131613131返回目录返回目录如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.（1）求证：E,F,G,H四点共面；（2）求证：BD∥平面EFGH；（3）OM=（OA+OB+OC+OD）.【分析】（1）要证E,F,G,H四点共面，可寻求x，y使EG=xEF+yEH.(2)由向量共线得到线线平行，进而得到线面平行.考点二共线、共面问题41返回目录【证明】（1）如图,连接BG，则EG=EB+BG=EB+(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,由共面向量定理的推论知：E,F,G,H四点共面.（2）因为EH=AH-AE=AD-AB=(AD-AB)=BD，所以EH∥BD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.2121212121⊂⊂（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由（2）知EH=BD，同理FG=BD,所以EH=FG,即EHFG,所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG,FH交于一点M且被M平分.故OM=(OE+OG)=OE+OG=[(OA+OB)]+[(OC+OD)]=（OA+OB+OC+OD）.返回目录21212121212121412121返回目录【评析】在求一个向量由其他向量来表示的时候,通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解.若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a=λb关系，即可判定两直线平行，如第（1）（2）问即是如此.返回目录＊对应演练＊如图,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，DD1，D1C1的中点，请选择适当的基底向量证明：（1）EG∥AC；（2）平面EFG∥平面AB1C.证明:(1)取AB=a,AD=b，AA1=c为一组基底，∵E，F，G分别是A1D1，DD1，D1C1的中点，∴EG=ED1+D1G=（a+b），AC=AB+BC=a+b，∴EG=AC，即EG∥AC，从而EG∥AC.(2)由（1）EG∥AC，同理可得EF∥B1C，又EG∩B1C=C,∴平面EFG∥平面AB1C.返回目录2121返回目录在平行四边形ABCD中,AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角（如图7-6-8）.求B,D间的距离.【分析】要分清折叠前后的变量与不变量.考点三数量积及运算返回目录【解析】∵∠ACD=90°,∴AC·CD=0.同理BA·AC=0.∵AB和CD成60°角,∴BA,CD=60°或120°.∵BD=BA+AC+CD,∴BD2=BA2+AC2+CD2+2BA·AC+2BA·CD+2AC·CD=BA2+AC2+CD2+2BA·CD=3+2×1×1×cosBA,CD4(BA,CD=60°)2(BA,CD=120°).∴|BD|=2或，即B,D间的距离为2或.22{=返回目录【评析】用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题.(1)求向量m和n所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量m和n用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度，最后利用公式cosm,n=(2)由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是思维中的常见障碍，在向量性质中|a|2=a·a提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题..|n||m|m·n返回目录＊对应演练＊如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M,N分别是AB,CD的中点.（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值.（1）证明：设AB=p，AC=q，AD=r.由题意可知，|p|=|q|=|r|=a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.MN=AN-AM=(AC+AD)-AB=(q+r-p),∴MN·AB=（q+r-p）·p=（q·p+r·p-p2）=(a2·cos60°+a2·cos60°-a2)=0.∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.返回目录2121212121（2）由（1）可知MN=（q+r-p）.∴|MN|2=MN2=（q+r-p）2=［q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)］=［a2+a2+a2+2(--)=×2a2=.∴|MN|=a,∴MN的长为a.（3）设向量AN与MC的夹角为θ.∵AN=(AC+AD)=(q+r),MC=AC-AM=q-p,∴AN·MC=（q+r）·(q-p)=(q2-q·p+r·q-r·p)=(a2-a2·cos60°+a2·cos60°-a2·cos60°返回目录22a2141414122a22a4122a22222121212121212121212121=(a2-+-)=.又∵|AN|=|MC|=a，∴AN·MC=|AN|·|MC|·cosθ=a·a·cosθ=a2.∴cosθ=,∴向量AN与MC的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.