2011年高考数学二轮复习专题课件20：概率及随机变量及其分布列

4.(2009·广东)已知离散型随机变量X的分布列如下表,若EX=0,DX=1,则a=___,b=____.解析由题意知解得X-1012Pabc121,131,061,1211cacacba.41,41,125cba12541离散型随机变量的分布列、期望及方差【例1】A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为服用B有效的概率为(1)求一个试验组为甲类组的概率;(2)观察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望.,32.21解(1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.依题意有.2121212)(,412121)(.943232)(,9432312)(1021BPBPAPAP所求的概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)(2)的可能值为0,1,2,3,且.94942194419441.72964)94()3(,2438095)94(C)2(,243100)95(94C)1(,729125)95()0().94,3(~32232133PPPPB的分布列为【探究拓展】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识,考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.0123P7291252431002438072964.3472964324380224310017291250E数学期望变式训练1从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,等可能地取出一个.(1)记性质r:集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为,求的分布列和数学期望解(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.基本事件总数事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}.事件A包含的基本事件数m=3，所以.31CCCCC5545352515n.E.313)(nmAP(2)依题意,的所有可能取值为1,2,3,4,5.故的分布列为.31131C)5(,31531C)4(,311031C)3(,311031C)2(,31531C)1(5545352515PPPPP又12345P31531103110315311.31803115315431103311023151E从而【例2】(2009·湖南)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求的分布列及数学期望.,613121、、解记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai、Bi、Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i、j、k=1,2,3且i,j、k互不相同)相互独立,且P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由已知,,21,31.61.616131216,3),31,3(~且B故的分布列是.278)32(C)0()3(,94)32)(31(C)1()2(,92)32()31(C)2()1(,271)31(C)3()0(303213223333PPPPPPPP所以0123P2719294278.227839429212710E的数学期望变式训练2(2009·重庆)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树的成活率分别为且各株大树的成活互不影响.求移栽的4株大树中:(1)两种大树各成活1株的概率;(2)成活的株数的分布列与期望.解设Ak表示事件甲种大树成活k株,k=0,1,2,Bl表示乙种大树成活l株,l=0,1,2,则Ak,Bl独立,由独立重复试验中事件发生的概率公式有,2132和.)21()21(C)(,)31()32(C)(2222llllkkkkBPAP(1)所求概率为P(A1·B1)=P(A1)·P(B1)=(2)方法一的所有可能值为0,1,2,3,4,且P(=0)=P(A0·B0)=P(A0)·P(B0)=P(=1)=P(A0·B1)+P(A1·B0)P(=2)=P(A0·B2)+P(A1·B1)+P(A2·B0)P(=3)=P(A1·B2)+P(A2·B1).41)(,21)(,41)(,94)(,94)(,91)(210210BPBPBPAPAPAP故得.922194.3614191.3613419421944191,6141942191,3121944194P(=4)=P(A2·B2)=综上知的分布列为从而的期望为方法二分布列的求法同前,令分别表示甲、乙两种大树成活的株数,则故有从而知.91419401234P3616136133191).(37914313361326113610株E21,),21,2(~),32,2(~21BB,1212,3432221EE).(3713421株EEΕ【考题再现】(2009·山东)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次.某同学在A处的命中率q1为0.25,在B处的命中率为q2,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为12345p0.03p1p2p3p4(1)q2的值；(2)求随机变量的数学期望(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.【解题示范】解(1)由题设知,“=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”,由对立事件和相互独立事件性质可知P(=0)=(1-q1)(1-q2)2=0.032分解得q2=0.8.4分.E(2)根据题意p1=P(=2)=(1-q1)q2(1-q2)=0.75×2×0.8×0.2=0.24.6分p2=P(=3)=q1(1-q2)2=0.25×(1-0.8)2=0.01.p3=P(=4)=(1-q1)=0.75×0.82=0.48.p4=P(=5)=q1q2+q1(1-q2)q2=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24.因此=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63.9分12C22qE(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投,以后都在B处投,得分超过3分”,用D表示事件“该同学选择都在B处投,得分超过3分”,则P(C)=P(=4)+P(=5)=p3+p4=0.48+0.24=0.72.P(D)==0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896.10分故P(D)＞P(C).即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率.12分2221222)1(Cqqqq1.古典概型:利用古典概型求解事件概率问题,应明确是否满足古典概型的两个特征,计算的关键是分清基本事件的个数n与事件A包含的结果m.2.互斥事件、独立事件概率:(1)求事件和的概率必须分清事件是否互斥,求事件积的概率必须注意事件的独立性.(2)要注意恰有k次发生和某指定的k次发生的差异,对独立重复试验来说,前者的概率为pk(1-p)n-k,后者的概率为pk(1-p)n-k.（3）解题过程中,要明确“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”等词语的含义,已知事件A、B,它们发生的概率分别为P(A)、P(B),那么A、B中至少有一个发生为A+B;A、B都发生为A·B;A、B都不发生为;A、B恰有一个发生为;A、B中至多有一个发生为3.随机变量的分布列、期望、方差:(1)分布列的计算是概率部分的延伸,重要的基础是概率计算,如古典概型、互斥事件的概率,相互独立事件同时发生的概knCBABABA.BABABA率,n次独立重复试验恰有k次发生的概率等.(2)任一离散型随机变量的概率分布列都有两条性质:①pi≥0(i=1,2,3…),②p1+p2+p3+…+…=1,利用此性质可检验分布列的正确性及求出其中含有的参数.(3)对于离散型随机变量的期望应注意:①是一个实数,由的分布列唯一确定,随机变量是可变的,但是不变的,描述了取值的平均水平.②的计算方法:=x1p1+x2p2+…+xnpn+…,即随机变量的取值与相应概率值分别相乘后相加.(4)对离散型随机变量的方差应注意:表示随机变量对的平均偏离程度,越大,表明平均偏离程度越大,说明的取值越分散;反之,越小,的取值越集中.EEEDEDDE一、选择题1.(2009·上海)若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=,则P(E∩F)的值等于()A.0B.C.D.解析因为事件E与事件F相互独立,故P(E∩F)=P(E)P(F)=411614121.1614141B2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.B.C.D.解析从4张卡片中取2张共有种取法,数字之和为奇数是指所取两个数分别是一个奇数和一个偶数,共有(种),则满足条件的概率是312132436C244CC1212.3264C3.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A.B.C.D.解析从30名同学中选3人的选法有种,其中全是男同学的选法有种,全是女同学的选法有种;故所求概率为299291029192920330C320C310C.29204061261CCC1330310320pD4.(2009·湖北)投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)(i为虚数单位)为实数的概率为()A.B.C.D.解析复数(m+ni)(n-mi)=mn-m2i+n2i+mn=2mn+(n2-m2)i.该复数为实数的条件为m=n,投掷两颗骰子共有点数6×6=36(种),满足m=n的有6种,因此使(m+ni)(n-mi)为实数的概率为P=614131121.61C5.(2009·重庆)锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为()A.B.C.D.解析从15个汤圆中选出4个汤圆共有种情况,每种汤圆至少有1个的情况有=720种情况,所以各种汤圆至少有1个的概率为P=918912591489160415C261415241516CCCCCC.9148C720415C251614CCC6.将一