2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第十单元第七节 空间向量及其运算

第七节空间向量及其运算(*)1.空间向量的概念空间向量:在空间,我们把既有又有的量叫做空间向量.2.共线向量(平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定零向量与共线.3.共线向量定理对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使.基础梳理大小方向互相平行或重合任意向量b=λaxa+ybxOAyOBzOC4.共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=.5.空间向量基本定理及其推论(1)空间向量基本定理如果三个向量,,不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=.(2)空间向量基本定理的推论设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=.OP1e2e3e123xeyeze(x,y,z)(x,y,z)6.空间向量的坐标表示及坐标运算(1)空间向量的坐标表示在空间直角坐标系O-xyz中,i,j,k分别为x轴,y轴,z轴方向上的单位向量,对于空间任意一个向量a,若有a=xi+yj+zk,则有序实数组叫做向量a在空间直角坐标系中的坐标.特别地,若A(x,y,z),则向量的坐标为(x,y,z),记作=.(2)坐标运算设,,则a+b=;a-b=;λa=.OAOA123,,aaaa123,,bbbb112233,,ababab112233,,ababab123,,aaa|a||b|cos〈a,b〉ababa·a2a7.空间向量的数量积(1)数量积的定义设a,b是空间两个非零向量,我们把数量|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=.规定:零向量与任一向量的数量积为0.(2)用数量积表示夹角、长度与垂直①cos〈a,b〉=;②|a|2==;③a⊥b(a,b是非零向量).a·b=0112233abababa=λb11ab22ab33ab8.空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标表示设,,则a·b=.(2)共线与垂直的坐标表示设,,则①a∥b,,,(λ∈R);②a⊥b(a,b均为非零向量).123,,aaaa123,,bbbb123,,aaaa123,,bbbb0ab1122330ababab222123aaa112233222222123123abababaaabbb(3)模、夹角和距离公式设,,则①=;②cos〈a,b〉==;③若,,则=.123,,aaaa123,,bbbbaaaabab111,,Aabc222,,BabcABdAB222121212aabbcc典例分析题型一向量的线性运算【例1】如图所示,在平行六面体中,设,,,M,N,P分别是,BC,的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1);(2);(3).分析从要求的向量出发，选取适当的三角形（或平行四边形）,利用向量的加、减及数乘运算的法则和运算律，不断地进行分解，直到全部用已知条件表示出来为止.1111ABCDABCD1AAaABbADc1AA11CDAP1AN1MPNC解(1)∵P是的中点,∴(2)∵N是BC的中点,∴(3)∵M是的中点,∴又∴11CD111111121122APAAADDPaADDCacABacb111122ANAAABBNabADabc1AA11111122222MPMAAPAAAPaacbabc1111122NCNCCCBCAAca1111313()222222MPNCabcacabc学后反思选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它表示指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等就近表示所需向量，再对照目标，就不符合目标的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有的向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解.有分解才有组合，组合是分解的表现形式.空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组(a,b,c),可以表示出空间的任意一个向量,而且a,b,c的系数是唯一的.举一反三1.在空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,N为BC的中点,则MN等于.OAaOBbOCc2OMMACNNB解析：∵,,,∴,①.②①+②,得∴MNMAABBN2OMMA2MNMOOCCNMNMOOCCN322213322222MNABBNOCCNABBNOCbacbabc211322MNabc答案：211322abc题型二共线、共面问题【例2】如图所示,已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外一点,连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.分析可以利用共面向量定理或其推论完成第(1)问的证明;从几何直观判断,第(2)问中的两个平面应该是平行关系.解(1)如图,连接PE,PF,PG,PH,并分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心,所以M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形,且有:,,,.因为四边形MNQR是一个平行四边形,所以又所以,即由共面向量定理知,E、F、G、H四点共面.23PEPM23PFPN23PGPQ23PHPR323322MQMNMRPNPMPRPMPFPEPHPEEFEH333222MQPQPMPGPEEG3322EGEFEHEGEFEH学后反思（1）空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面.（2）用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.（3）要学会用向量的知识来解决立体几何问题.(2)由(1)得,所以∥.又因为EG平面ABC,MQ平面ABC,所以EG∥平面ABC.因为,所以MN∥EF.又因为EF平面ABC,MN平面ABC,所以EF∥平面ABC.由于EG与EF交于E点,所以平面EFGH与平面ABCD平行.32MQEGMQEG333222MNPNPMPFPEEF答案：A、B、D举一反三2.已知向量a,b,且,,,则A、B、C、D中一定共线的三点是.2ABab56BCab72CDab解析：∵∴A、B、D三点共线.易证A、C、D不共线.5672242BDBCCDabababAB题型三空间向量的数量积【例3】如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算:(1);(2);(3).EFBAEFBDEFDC分析可先将EF看作,然后利用向量数量积的定义求出即可.学后反思注意由图形写向量夹角时易出错,如〈BD,DC〉=120°,易错写为〈BD,DC〉=60°.12BD解(1)(2)(3)01111cos,cos602224EFBABDBABDBABDBA0111cos0222EFBDBDBD011cos,2211cos12024EFDCBDDCBDDCBDDC举一反三3.如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC.BC证明：设=a,=b,=c,则=b-a,=c-b,=c-a.∵AB⊥CD,∴即a·(c-b)=0,∴a·c=a·b.又AC⊥BD,∴即b·(c-a)=0,∴b·c=b·a.∴=c·(b-a)=c·b-c·a=b·a-a·b=0,∴AD⊥BC.ABACADCDBD0ABCD0ACBDADBC题型四向量的坐标运算【例4】(14分)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),求:(1)a·b;(2)a与b夹角的余弦值;(3)确定λ,μ的值使得λa+μb与z轴垂直，且(λa+μb)·(a+b)=53.分析求夹角需利用数量积，因而需求得|a|与|b|代入公式cos〈a,b〉=而求λ,μ的值，需利用z轴的单位向量联立方程组求解.abab解(1）a·b=（3，5，-4）·(2,1,8)=3×2+5×1-4×8=-21……………………………………..6′(2)∵∴cos〈a,b〉=…………….10′(3)取z轴上的单位向量n=(0,0,1),a+b=(5,6,4).依题意(λa+μb)·n=0,(λa+μb)·(a+b)=53,即(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)·(0,0,1)=0,(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)·(5,6,4)=53,故-4λ+8μ=0,29λ+48μ=53,解得λ=1,μ=……………………..14′22235450a22221869b2171382305069abab12学后反思本题主要运用坐标代入运算即可.特别地，λa+μb与z轴垂直，只需满足λa+μb的竖坐标为零，即-4λ+8μ=0即可，可见,要使a与某一坐标轴垂直，只要a的相应坐标为零即可，且反之亦真.举一反三4.已知向量a=(1,-3,2)和b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上是否存在一点E,使⊥b(O为原点)?OE95解析：(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),∴|2a+b|=(2)设AE=tAB,则=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).若⊥b,则·b=0,即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=.故存在点E,使⊥b,此时E点坐标为E22205552OEOAAEOAtABOE95OE6142,,555OE10.已知向量x与向量a=(2,-1,2)共线，且满足方程a·x=-18，求向量x的坐标.考点演练解析：∵x与a共线，故可设x=ka,由a·x=-18,得a·ka=,∴9k=-18,故k=-2.∴x=-2a=(-4,2,-4).224149kakk11.如图,在棱长为a的正方体中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1)求出点E、F的坐标；（2）求证:(3)若、E、F、四点共面,求证:1111OABCOABC11AFCE1A1C111112AFACAE解析：(1)易知,E(a,x,0),F(a-x,a,0).(2)证明:∵(a,0,a)、(0,a,a),∴=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a),∴=-ax+a(x-a)+a2=0.∴(3)证明:∵、E、F、四点共面,∴、、共面.视与为一组基向量,则存在唯一的实数对、使,即(-x,a,-a)=(-a,a,0)+(0,x,-a)=(-a,a+x,-a),∴-x=-a,a=a+x,-a=-a,解得,=1.∴1AF1CE11AFCE11AFCE1A1C1AE11AC1AF1AE11AC12111121AFACAE12112211221122111112AFACAE1A1C12.已知A、B、C三点坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1)，（-2，2，3），求点P的坐标，使得12APABAC解析:设P(x,y,z)，则=(x-2,y+1,z-2),