2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第十单元第八节 立体几何中的向量方法

第十单元立体几何知识体系第八节立体几何中的向量方法(*)基础梳理111222,,,,abckabc1.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线的方向向量为直线的方向向量为如果∥,那么∥=k;如果⊥,那么⊥.1l1111,,uabc2l2222,,uabc1l2l1u2u1u2u1l2l1u2u120uu1212120aabbcc1212120aabbcc111222,,,,abckabc111222,,,,abckabc(2)直线l的方向向量为,平面α的法向量为若l∥α,则u⊥nu·n=0;若l⊥α,则u∥nu=kn.(3)平面α的法向量为,平面β的法向量为若α∥β,则∥;若α⊥β,则.2.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.111,,uabc222,,nabc1111,,uabc2222,,uabc1u2u12uku12uu120uu1212120aabbcc②范围:两条异面直线所成角θ的取值范围是.③向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,直线a、b的夹角为θ,则有cosθ=.(2)直线与平面所成的角①定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.②范围:直线和平面所成角θ的取值范围是.③向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有sinθ=.0,2cosabab0,2cosauau二面角二面角的面平面角[0,π)(3)二面角①定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,这条直线叫做二面角的,这两个半平面叫做.在二面角的棱上任取一点O,以O为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的.②二面角的取值范围是.③二面角的向量求法:(ⅰ)若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角(如图①).ABCD棱(ⅱ)设,分别是二面角α-l-β的两个面α、β的法向量,则向量与的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②、③).1n2n1n2n典例分析题型一利用空间向量证明平行、垂直问题【例1】如图,已知直三棱柱中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=,D、E、F分别为、、BC的中点.求证:(1)DE∥平面ABC;(2)⊥平面AEF.111ABCABC1AA1BA1CC1BF分析由题可知，题中具备两两垂直的三条直线，可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算来解决；也可以用几何方法，利用线面垂直、线面平行的判定定理来解决.证明如图建立空间直角坐标系,令AB==4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),(4,0,4).(1)取AB中点N,连接NC,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2).∴=(-2,4,0),=(-2,4,0),∴,∴DE∥NC.又∵NC在平面ABC内,∴DE∥平面ABC.1AA1BDENCDENC学后反思(1)证明线面平行需证明线线平行,只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行,可用传统法，也可用向量法,用向量法更为普遍.(2)证明线面垂直的方法:可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明,也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明.(3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直,也可用两平面的法向量垂直来证明.(2)易知=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0),则=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,∴,∴⊥EF.∵=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0,∴,即⊥AF.又∵AF∩FE=F,∴⊥平面AEF.1BFEFAF1BFEF1BFEF1BFAF1BFAF1BF1BF1BF举一反三1.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于F.求证：(1)PA∥平面BDE;(2)PB⊥平面DEF.PA证明：(1)如图建立空间直角坐标系,设DC=a,AC∩BD=G,连接EG,则A(a,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0),E,G.于是=(a,0,-a),,∴,∴PA∥EG.又EG平面DEB,PA平面DEB,∴PA∥平面DEB.0,,22aa,,022aa,0,22aaEG2PAEG(2)由P(0,0,a),B(a,a,0),得=(a,a,-a).又,∴,∴PB⊥DE.又EF⊥PB,EF∩DE=E,∴PB⊥平面EFD.PB0,,22aaDE22022aaPBDE题型二两条异面直线所成的角【例2】长方体中,AB=4,AD=6,=4,M是的中点,P在线段BC上,且CP=2,Q是的中点,求异面直线AM与PQ所成的角的余弦值.1111ABCDABCD1AA11AC1DD分析本题以长方体为载体,易建立空间直角坐标系来解决.欲求异面直线所成的角，一般可以从公式cos〈a·b〉=入手，先求得所需向量，代入即可.注意求角的过程中，异面直线所成角的范围(0,].abab2学后反思求异面直线所成角的主要方法:(1)定义法(平移法);(2)向量法:建立坐标系求相关向量的坐标,通过向量坐标运算求角;有时也可用题目中给出的向量表示相关向量,然后计算角;(3)有些问题是垂直问题,可利用三垂线定理来确定.利用向量求角的关键是区分异面直线所成角的概念和向量夹角概念的差别.解如图,建立空间直角坐标系B-xyz,则A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2).∵=(-2,3,4),=(4,2,2),∴=(-2)×4+3×2+4×2=6,∴故异面直线AM与PQ所成的角的余弦值为AMPQ22223429AM22242224PQAMPQ174cos,58AMPQAMPQAMPQ17458举一反三2.如图所示,是直三棱柱,∠BCA=90°,点、分别是和的中点,若BC=CA=,求与所成角的余弦值.111ABCABC1D1F11AB11AC1CC1BD1AF解析:方法一:如图所示,连接,取BC中点M,连接,MA,则∥∥BM.又∵∴四边形是平行四边形,∴∥,∴∠是异面直线和所成的角.设BC=CA==1,则,11DF1MF11DF11BC111112DFBCBM11BMFD1MF1BD1FMA1BD1AF1CC215144AM22211231()22MFBD2115144AF153530424cos1035224MFA∴方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA==2,∴A(2,0,0),B(0,2,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2).∵、分别为、的中点,∴(1,1,2),(1,0,2).∴=(1,-1,2),=(-1,0,2),∴=(1,-1,2)·(-1,0,2)=3,,,∴1CC1A1C1B1D1F11AB11AC1D1F1BD1AF11BDAF211126BD21125AF11333030cos,301065BDAF题型三直线与平面所成的角【例3】如图,在三棱锥PABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA.点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.(1)求证:OD∥平面PAB;(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.分析（1）根据线面平行的判定定理.（2）几何求法：找出或作出相应于平面PBC的垂线、斜线和射影，作出线面角求解；向量法：建立空间直角坐标系，利用向量去解.12解方法一:(1)证明:∵O、D分别为AC、PC的中点,∴OD∥PA.又PA平面PAB且ODPAB,∴OD∥平面PAB.(2)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC.又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.取BC中点E,连接PE,则BC⊥平面POE,∴平面PB⊥平面PDE，作OF⊥PE于F,连接DF,则OF⊥平面PBC,∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.在Rt△ODF中,sin∠ODF=OFOD=,∴OD与平面PBC所成角的正弦值为2103021030方法二:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图),设AB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).(1)证明:∵D为PC的中点,∴OD=(a,0,h).又=(a,0,-h),∴,∴OD∥PA,∴OD∥平面PAB.2222222412PA2212ODPA(2)设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),易得取x=-1时,n=(-1,1,),∵设OD与平面PBC所成的角为θ,∴∴OD与平面PBC所成角的正弦值为77210cos,30ODnODnODn210sincos,30ODn21030学后反思几何法是把空间角转化成平面角去解，求线面角要按照一作、二证、三计算的步骤进行.在用向量法求直线OP与平面α所成的角时一般有两种途径：①是直接求，其中OP′为斜线OP在α内的射影；②是通过求〈n,〉进而转化求解，其中n为平面α的法向量，此时应注意OP与平面α所成角θ与〈n,〉的关系，它们互为余角.注意最后完成转化.,'OPOPOPOP举一反三3.在正方体中,E、F分别为与AB的中点,求与截面所成的角的正弦值.解析：建立以D为原点,DA,DC,分别为x,y,z轴的坐标系,设棱长为1.设平面的法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.∵=(-1,,0),=(0,,1),∴∴令y=2,∴n=(1,2,1).1AC11DC11AB1AECF1DD1AECFFCCEFC12CE12102102xyyz1212xyzy又∵=(0,1,0),∴∴与平面所成的角的正弦值为.11AB1122226cos,3121nAB11AB631AECF题型四二面角【例4】(14分)(2009·高邮模拟)如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;(2)求二面角ABEC的余弦值.分析建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用EB与AC的夹角解决（1），计算平面ABE及平面BEC的法向量，求法向量的夹角来解决(2).25解（1）以O为原点，OB，OC，OA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0)……………….2′=(2,-1,0),=(0,2,-1),………………………………….4′由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是…….6′（2）=（2，0，-1），=(0,1,-1),……………………10′设平面ABE的法向量为=(x,y,z),则由，，得2x-z=0y-z=0.取=(1,2,2),平面BEC的一个法向量为=(0,0,1),…………………………12′EB22cos,555EBACACABAE1n1nAB1nAE1n2n由于二面角A-BE-C的平面角是与的夹角的补角，其余弦值是……………………………………………………14′12121222cos,3144nnnnnn1n2n23学后反思(1)利用向量法解答有关空间角的问题，其关键在于相关点的坐标表示，在计算过程中应