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选修4－1－1相似三角形的判定及有关性质考纲点击了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.说基础课前预习读教材考点梳理1．平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段①__________.如图所示．l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于A、B、C、D、E、F，则ABBC＝DEEF.说明：上图中，除了ABBC＝DEEF外，还有ABAC＝②__________；BCAC＝③__________成立．(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段成比例．如下图所示．在以上三种基本图形中，DE∥BC，有ADDB＝AEEC.(3)推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线④________________________.2．三角形内角平分线定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，则有⑤__________.3．直角三角形的射影定理(1)定理：直角三角形的每一条直角边都是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则AC2＝⑥________；BC2＝⑦________；CD2＝⑧________.(2)逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．答案：①成比例②DEDF③EFDF④平行于三角形的第三边⑤ABAC＝BDDC⑥AD·AB⑦DB·AB⑧AD·DB考点自测1．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，则线段BF的长为__________．解析：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形．∴FC＝DE＝5cm.∵DF∥AC，∴BFFC＝BDDA，即BF5＝84.∴BF＝10cm.答案：10cm2．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，AB∶AC＝3∶2，则CD∶BD＝__________.解析：由△ABD∽△CBA得AB2＝BD·BC.由△ADC∽△BAC，得AC2＝DC·BC，∴CD·BCBD·BC＝AC2AB2＝49.即CD∶BD＝4∶9.答案：4∶93．如图，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且DC∶BE＝3∶2，则AD∶BF＝______.解析：由题可证得△BEF∽△CDF，∴DCBE＝DFEF＝32.∴ADBF＝DEEF＝DFEF＋1＝52.答案：5∶24．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝__________.解析：由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可推得Rt△ABE∽Rt△ADC，则AEAC＝ABAD，∴AE＝6×412＝2.答案：25．如图，正方形ABCD的边长为4，P为AB上的点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，则PQ的长为__________．解析：∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°.∴∠APQ＝∠BCP.∴Rt△APQ∽Rt△PBC.∴APBC＝PQPC.∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1.∴PQ＝AP·PCBC.又PC2＝32＋42＝5，∴PQ＝54.答案：54说考点拓展延伸串知识疑点清源1.证明三角形相似的一般思路是：先找两对内角对应相等；若只找到一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若找不到角对应相等，就要证明三边对应成比例．2．证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解．3．已知条件中含有直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应关系，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项.题型探究题型一平行线分线段成比例问题例1如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求证：OE＝OF；(2)求OEAD＋OEBC的值；(3)求证：1AD＋1BC＝2EF.解析：(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC，∴OEBC＝AEAB，OFBC＝DFDC.∵EF∥AD∥BC，∴AEAB＝DFDC.∴OEBC＝OFBC，∴OE＝OF.(2)∵OE∥AD，∴OEAD＝BEAB.由(1)知OEBC＝AEAB.∴OEAD＋OEBC＝BEAB＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知OEAD＋OEBC＝1，∴2OEAD＋2OEBC＝2.又EF＝2OE，∴EFAD＋EFBC＝2，∴1AD＋1BC＝2EF.点评：①利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运算．②有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．变式探究1如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则BFFC的值为__________．解析：过点D作DM∥AF交BC于点M.∵点E是BD的中点，∴在△BDM中，BF＝FM，∵点D是AC的中点，∴在△CAF中，CM＝MF，∴BFFC＝BFFM＋MC＝12.题型二相似三角形的判定例2如图所示，AE、AF分别为△ABC的内、外角平分线，O为EF的中点．求证：OB：OC＝AB2：AC2.解析：∵AE，AF为△ABC的内、外角平分线，∴AE⊥AF，又∵O为EF的中点，∴∠OEA＝∠OAE.∵∠OAE＝∠CAE＋∠OAC，∠OEA＝∠B＋∠BAE，而∠BAE＝∠CAE，∴∠OAC＝∠B.∵∠AOB为公共角，∴△OAC∽△OBA.∴S△OBA：S△OAC＝AB2：AC2.又∵△OAB与△OCA有一个公共边OA.∴S△OBA：S△OAC＝OB：OC，∴OB：OC＝AB2：AC2.点评：利用三角形相似的判定定理来证明三角形相似，然后由面积比等于相似比的平方这一性质来解题．所以并非见到内外角平分线，就用角平分线定理．变式探究2如图所示，已知AD、BE分别是△ABC中BC边和AC边上的高，H是AD，BE的交点，求证：(1)AD·BC＝BE·AC；(2)AH·HD＝BH·HE.证明：(1)在Rt△ADC和Rt△BEC中，∠C为公共角．∴Rt△ADC∽Rt△BEC，∴ADBE＝ACBC，∴AD·BC＝BE·AC.(2)在Rt△BHD和Rt△AHE中，∵∠BHD＝∠AHE，∴Rt△BHD∽Rt△AHE，∴BHAH＝HDHE.∴AH·HD＝BH·HE.题型三射影定理的应用例3如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.解析：∵CE⊥AB，∴∠H＋∠HFE＝90°.又∵∠BCF＝∠H，∠HFE＝∠CFG，∴∠BCF＋∠CFG＝90°.∴FG⊥GC，∴△BGH∽△FGC.∴BGGF＝GHGC，即BG·GC＝GF·GH.又∵DG2＝BG·GC(射影定理)，∴DG2＝GF·GH.点评：利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．变式探究3在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC的长为__________．解析：如图所示，由射影定理得CD2＝AD·BD，∵CD＝2，BD＝3，∴AD＝43，得AB＝AD＋BD＝133.又AC2＝AD·AB＝43·133，∴AC＝2133.答案：2133归纳总结•方法与技巧相似三角形的判定定理的选择(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1、2；(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2、3；(3)判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形的方法来判定，如不能再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．•失误与防范(1)关于直角三角形射影定理①射影定理的两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高，二者缺一不可．②应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，同时还可用于研究相似问题，比例式等问题．(2)在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例．(3)在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错.新题速递1.(2013·东莞模拟)如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝6，AC＝3，则CD＝__________.答案：22．(2013·广东调研)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为__________．答案：7∶53．(2013·揭阳质检)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则BD的长为__________，AB的长为__________．答案：3292