2014高考数学(文)二轮专题突破课件(浙江专版)第1部分 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题

圆锥曲线中的定点问题第二课时圆锥曲线中的定点、定值和最值问题第三讲高考中的圆锥曲线解答题型[例1]已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，其右焦点为(1,0)，点P1，32在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于(不同于点A的)M，N两点，试判断直线MN与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．[自主解答](1)设椭圆E的左右焦点分别为F1，F2，∵椭圆E右焦点为(1,0)，∴c＝1，又点P1，32在椭圆E上，∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝1＋12＋322＋1－12＋322＝4，∴a＝2，b＝a2－c2＝3，∴椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)①当直线MN与x轴垂直时，直线AM的方程为y＝x＋2，联立y＝x＋2，3x2＋4y2＝12，得7x2＋16x＋4＝0，解得x＝－27或x＝－2(舍)．此时直线MN的方程为x＝－27，直线MN过x轴上一点Q－27，0.②当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为y＝kx＋n.则由y＝kx＋n，3x2＋4y2＝12，得(3＋4k2)x2＋8knx＋4n2－12＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当Δ＝(8kn)2－4×(3＋4k2)(4n2－12)0，即n2－4k2－30时，则有x1＋x2＝－8kn3＋4k2，x1x2＝4n2－123＋4k2，y1y2＝(kx1＋n)(kx2＋n)＝k2x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝3n2－12k23＋4k2.而AM＝(x1＋2，y1)，AN＝(x2＋2，y2)，由题意可知，AM⊥AN，即AM·AN＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝7n2－16kn＋4k23＋4k2＝0，解得n＝2k或n＝27k.当n＝2k时，直线MN的方程为y＝k(x＋2)，过点A，与题意不符，舍去；当n＝27k时，n2－4k2－30，直线MN的方程为y＝kx＋27，显然过点Q－27，0.综上，直线MN一定经过x轴上一定点Q－27，0.——————————规律·总结————————————求解直线和曲线过定点问题的基本思路把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．———————————————————————————1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝22，左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，3)，点F2在线段PF1的中垂线上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标．解：(1)由椭圆C的离心率e＝22，得ca＝22，其中c＝a2－b2，椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．又∵点F2在线段PF1的中垂线上，∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝(3)2＋(2－c)2，解得c＝1，∴a2＝2，b2＝1.∴椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意直线MN的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－4km2k2＋1，x1x2＝2m2－22k2＋1，且kF2M＝kx1＋mx1－1，kF2N＝kx2＋mx2－1.由已知α＋β＝π得kF2M＋kF2N＝0，即kx1＋mx1－1＋kx2＋mx2－1＝0.化简得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，所以2k·2m2－22k2＋1－4kmm－k2k2＋1－2m＝0，整理得m＝－2k.故直线MN的方程为y＝k(x－2)，因此直线MN过定点，该定点的坐标为(2,0).[例2]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点分别为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．(1)求椭圆方程；(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右两端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P.求证：OM·OP为定值．圆锥曲线中的定值问题[自主解答](1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，由题意知b＝c＝2，所以a2＝b2＋c2＝4.故此椭圆的方程为x24＋y22＝1.(2)C(－2,0)，D(2,0)，设M(2，y0)，P(x1，y1)，则OP＝(x1，y1)，OM＝(2，y0)，直线CM的方程为：x－24＝y－y0y0，即y＝y04x＋12y0，代入椭圆x2＋2y2＝4，得1＋y208x2＋12y20x＋12y20－4＝0，∵x1×(－2)＝4y20－8y20＋8，∴x1＝－2y20－8y20＋8，∴y1＝8y0y20＋8，∴OP＝－2y20－8y20＋8，8y0y20＋8，∴OP·OM＝－4y20－8y20＋8＋8y20y20＋8＝4y20＋32y20＋8＝4.——————————规律·总结———————————————————————————————————————求解定值问题的“三个”步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和e，32都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P，(ⅰ)若AF1－BF2＝62，求直线AF1的斜率；(ⅱ)求证：|PF1|＋|PF2|是定值．解：(1)由题设知a2＝b2＋c2，e＝ca.由点(1，e)在椭圆上，得1a2＋c2a2b2＝1，解得b2＝1，于是c2＝a2－1.又因为点e，32在椭圆上，所以e2a2＋34b2＝1，即a2－1a4＋34＝1，解得a2＝2.因此，所求椭圆的方程是x22＋y2＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，又因为直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，y20.由x212＋y21＝1，x1＋1＝my1，得(m2＋2)y21－2my1－1＝0，解得y1＝m＋2m2＋2m2＋2，故|AF1|＝x1＋12＋y1－02＝my12＋y21＝2m2＋1＋mm2＋1m2＋2.①同理，|BF2|＝2m2＋1－mm2＋1m2＋2.②(ⅰ)由①②得|AF1|－|BF2|＝2mm2＋1m2＋2，由2mm2＋1m2＋2＝62，得m2＝2，注意到m0，故m＝2.所以直线AF1的斜率为1m＝22.(ⅱ)证明：因为直线AF1与BF2平行，所以|PB||PF1|＝|BF2||AF1|，于是|PB|＋|PF1||PF1|＝|BF2|＋|AF1||AF1|，故|PF1|＝|AF1||AF1|＋|BF2||BF1|.由点B在椭圆上知|BF1|＋|BF2|＝22，从而|PF1|＝|AF1||AF1|＋|BF2|(22－|BF2|)．同理|PF2|＝|BF2||AF1|＋|BF2|(22－|AF1|)．因此，|PF1|＋|PF2|＝|AF1||AF1|＋|BF2|(22－|BF2|)＋|BF2||AF1|＋|BF2|(22－|AF1|)＝22－|2AF1|·|BF2||AF1|＋|BF2|.又由①②知|AF1|＋|BF2|＝22m2＋1m2＋2＝322，|AF1|·|BF2|＝m2＋1m2＋2＝34，所以|PF1|＋|PF2|＝22－22＝322.因此，|PF1|＋|PF2|是定值.[例3](2013·浙江高考)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．圆锥曲线中的最值问题[自主解答](1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p0)，则p2＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y，消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4k2＋1.由y＝y1x1x，y＝x－2，解得点M的横坐标xM＝2x1x1－y1＝2x1x1－x214＝84－x1.同理点N的横坐标xN＝84－x2.所以|MN|＝2xM－xN＝284－x1－84－x2＝82x1－x2x1x2－4x1＋x2＋16＝82k2＋1|4k－3|.令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋34.当t0时，|MN|＝2225t2＋6t＋122.当t0时，|MN|＝225t＋352＋1625≥825.综上所述，当t＝－253，即k＝－43时，|MN|的最小值是825.——————————规律·总结————————————圆锥曲线上本身存在的最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④在抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近．———————————————————————————3．已知F1，F2分别是椭圆E：x25＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程．解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x0，y0)，由y0x0＝1，x02＋y02－2＝0，解得x0＝2，y0＝2.所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d＝|2m|1＋m2.所以b＝222－d2＝41＋m2.由x＝my＋2，x25＋y2＝1，得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝－4mm2＋5，y1y2＝－1m2＋5.于是a＝x1－x22＋y1－y22＝1＋m2y1－y22＝1＋m2[y1＋y22－4y1y2]＝1＋m216m2m2＋52＋4m2＋5＝25m2＋1m2＋5.从而ab＝85·m2＋1m2＋5＝85·m2＋1m2＋1＋4＝85m2＋1＋4m2＋1≤852m2＋1·4m2＋1＝25.当且仅当m2＋1＝4m2＋1，即m＝±3时等号成立．故当m＝±3时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝3y＋2或x＝－3y＋2，即x－3y－2＝0或x＋3y－2＝0.课题19参数法求圆锥曲线的定点问题[典例]已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1，离心率e＝22.(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1,0)作直线l交E于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MP