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1．数形结合的含义(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．第二讲数形结合思想(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合的途径(1)通过坐标系“形题数解”借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这一方法在解析几何中体现得相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，2为半径的圆．(2)通过转化构造“数题形解”许多代数结构都有着相对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a(a0)与距离互化；将a2与面积互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cosθ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通；将a≥b≥c0且b＋ca中的a、b、c与三角形的三边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径．[例1](2013·长沙模拟)若f(x)＋1＝1fx＋1，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点，则实数m的取值范围是()A.0，12B.12，＋∞C.0，13D.0，12利用数形结合讨论方程的解或图像的交点[思维流程][解析]当x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x，∴f(x＋1)＝x＋1.而由f(x)＋1＝1fx＋1，可得f(x)＝1fx＋1－1＝1x＋1－1(x∈(－1,0])．如图所示，作出函数f(x)在区间(－1,1]内的图像，而函数g(x)零点的个数即为函数f(x)与y＝mx＋m图像交点的个数，显然函数y＝mx＋m的图像为经过点P(－1,0)，斜率为m的直线．如图所示，f(1)＝1，故B(1,1)．直线PB的斜率k1＝1－01－－1＝12；直线PO的斜率为k2＝0.由图可知，函数f(x)与y＝mx＋m的图像有两个交点，则直线y＝mx＋m的斜率k2m≤k1，即m∈0，12.[答案]D——————————规律·总结—————————————利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．1．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝lgx，x0，0，x＝0，－1x，x0，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内零点的个数是()A．5B．7C．8D．10解析：依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像，结合图像得，当x∈[－5,5]时，它们的图像的公共点共有8个，即函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8.答案：C[例2](1)使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是_______．(2)若不等式|x－2a|≥12x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．利用数形结合解不等式或求参数[思维流程][解析](1)在同一坐标系中，分别作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像，由图可知，x的取值范围是(－1,0)．(2)作出y＝|x－2a|和y＝12x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤12.[答案](1)(－1,0)(2)－∞，12——————————规律·总结—————————————利用数形结合解不等式应注意的问题解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决．2．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，则a的取值范围为()A．(2,3]B．[4，＋∞)C．(1,2]D．[2,4)解析：设y1＝(x－1)2，y2＝logax，则y1的图像为如图所示的抛物线．要使对一切x∈(1,2)，y1y2恒成立，显然a1，并且只需当x＝2时，logax≥1，即a≤2，所以1a≤2.答案：C[例3](1)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，则yx的最大值为()A.12B.33C.32D.3(2)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.2D.22利用数形结合求最值[思维流程](1)(2)[解析](1)(x－2)2＋y2＝3表示坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径r＝3，如图，而yx＝y－0x－0表示圆上的点(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率．该问题转化为如下几何问题：点A在M(2,0)为圆心，3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值．由图可知，当点A在第一象限，且OA与圆相切时OA的斜率最大．连接AM，则AM⊥OA，|OA|＝|OM|2－|AM|2＝22－32＝1，可得yx的最大值为tan∠AOM＝3，故选D.(2)因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．如图所示，设OC＝c，OA＝a，OB＝b，CA＝a－c，CB＝b－c，即AC⊥BC，又OA⊥OB，所以O，A，C，B四点共圆．当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为2.[答案](1)D(2)C——————————规律·总结—————————————利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义．第二步：转化为几何问题．第三步：解决几何问题．第四步：回归代数问题．第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．3．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是()A．2B．3C．8D．－1解析：分别画出y＝－x＋3，y＝32x＋12，y＝x2－4x＋3三个函数的图像，如图所示，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．答案：A函数f(x)的表达式为f(x)＝x2－4x＋3，x≤0，－x＋3，0x≤1，32x＋12，1x≤5，x2－4x＋3，x5，f(x)的图像是图中的实线部分，图像的最低点是B(1,2)，所以函数f(x)的最小值是2.4．当0xπ2，函数f(x)＝1＋cos2x＋4sin2xsin2x的最小值为()A．－4B．－22C．4D．22解析：f(x)＝1＋cos2x＋21－cos2xsin2x＝3－cos2x0－－sin2x，它表示点(0,3)与点(－sin2x，cos2x)连线的斜率，而点(－sin2x，cos2x)在x∈0，π2时是圆x2＋y2＝1的左半圆(不含端点)，数形结合可知当过(0,3)的直线与该半圆相切时，斜率最小，即f(x)最小．设切线方程为y＝kx＋3，则|3|k2＋1＝1⇒k＝22或k＝－22(舍)，故f(x)的最小值为22.答案：D1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图；(2)函数及其图像；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图像；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．(3)简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法．数学思想专练（二）