2014高考数学备考学案(文科)能力提升第24课 利用导数来研究函数的单调性

考纲要求1．了解函数的单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）．知识梳理1．函数的单调性函数()yfx在某个区间(,)ab内可导①函数的单调性的充分条件若()0fx，则()fx为增函数；若()0fx，则()fx为减函数．②函数的单调性的必要条件若()fx为增函数，则()0fx；若()fx为减函数，则()0fx．2．求可导函数单调区间的步骤①求()fx；②令()fx0，得递增区间；令()fx0，得递减区间．3．由函数的单调性求参数范围①()fx；②当()fx在区间(,)ab为增函数时，则()0fx在区间(,)ab上恒成立；当()fx在区间(,)ab为减函数时，则()0fx区间(,)ab上恒成立．③检验参数的取值能否使()fx恒等于0，若能恒等于0，则这个参数值应舍去．1．（2012丰台二模）函数()sin()fxxxxR（）A．是偶函数，且在(,+)上是减函数B．是偶函数，且在(,+)上是增函数C．是奇函数，且在(,+)上是减函数D．是奇函数，且在(,+)上是增函数基础自测【答案】D【解析】∵()sin()(sin)fxxxxx，∴()()fxfx，∴()fx为奇函数；∵()1cos0fxx，∴()fx在R上是增函数．2．已知3()fxxax在[1,)上是单调增函数，则a的最大值是()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】2()30fxxa在[1,)上恒成立，∴23ax在[1,)恒成立，而22min(3)313x，∴3a，故max3a.3．对于在R上可导的任意函数()fx，若满足()()0xafx，则必有()A．()()fxfaB．()()fxfaC．()()fxfaD．()()fxfa【答案】A【解析】当xa时，()0fx，则()()fxfa；当xa时，()0fx，则()()fxfa；当xa时，()()fxfa；故选Ａ．4．设()fx、()gx在[,]ab上可导，且()()fxgx，则当axb时，有（）A．()()fxgxB．()()fxgxC．()()()()fxgagxfaD．()()()()fxgbgxfb【答案】C【解析】设()()()Fxfxgx，∵()fx()gx，∴()()()0Fxfxgx，∴()Fx在区间[,]ab上是增函数，∴()()()()fagafxgx，∴()()()()fxgafagx．【例1】如果函数()yfx的图象如图1所示，那么导函数()yfx的图象可能是()图1典例剖析考点1利用导数判断函数图象【答案】A【变式】设()fx在定义域内可导，()yfx的图象如图2所示，则导函数()yfx的图象可能是（）图2【答案】D【解析】∵0x时，()fx单调递减，()0fx，排除A、C；∵0x时，()fx先增后减，再增，则()fx为正、负、正，排除B．【例2】讨论函数32()(1)43xfxaxaxb的单调性．考点2求函数的单调区间【解析】∵2()2(1)4fxxaxa(2)(2)xax，令()0fx，即2xa，或2x．当1a时，令()0fx，解得2xa或2x，∴)(xf的单调递增区间为(,2)，2,)a（．单调递减区间为(2,2)a．当1a时，2()(2)0fxx，即)(xf的单调递增区间为),(．当1a时，令()0fx，解得2xa，或2x，∴)(xf的单调递增区间为(,2)a，(2,)．单调递减区间为(2,2)a．【变式】（2012辽宁高考）函数21ln2yxx的单调递减区间为（）A．(1,1]B．(0,1]C．[1,)D．(0,)【答案】B【解析】∵21ln2yxx，∴1yxx，由0y，解得x-11，又0x，∴0x1，故选B．考点3由函数的单调性求参数的范围【例3】（2012苍山质检）已知函数2()lnfxxax．（1）当2ae时，求函数()fx的单调区间；（2）若函数()()2gxfxx在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围．【解析】（1）函数)(xf的定义域为(0,)．∵2()lnfxxax，∴()2afxxx．∴当ea2时，2()2lnfxxex，22()()()2exexefxxxx．令()0fx，解得xe；令()0fx，解得0xe．∴()fx的单调递增区间是(,)e；单调递减区间是(0,)e．（2）∵2()ln2gxxaxx，∴()22agxxx，∵函数()gx在[1,4]上是减函数，∴()220agxxx在[1,4]上恒成立，∴222axx在[1,4]上恒成立，设2211()222()22xxxx，显然()x在[1,4]上为减函数，∴()(4)24x，∴a的取值范围是24a．【变式】（2012聊城一模）已知函数32()35fxxaxx在区间[1,2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．(,5)B．(,5]C．37(,)4D．(,3]【答案】B【解析】2()921fxxax，∵函数()fx在区间[1,2]上单调递增，∴2()9210fxxax在区间[1,2]上恒成立，∴9122xax在区间[1,2]上恒成立，令91()22xgxx，则291()22gxx，∵[1,2]x，则()0gx，∴91()22xgxx在[1,2]上为增函数，∴min()(1)5gxg，∴5a．1．注意定义域和参数对单调区间的影响．2．同一函数的两个单调区间不能并起来．归纳反思