2014高考数学备考学案(文科)能力提升第27课 生活中的优化问题举例

考纲要求会利用导数解决某些实际问题．知识梳理1．优化问题生活中，求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．解决优化问题的基本思路得到优化问题的答案优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题3.利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际问题中的优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示出来，还应确定函数关系式中自变量的定义区间.1．(2012青岛质检)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为31812343yxx，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件基础自测【答案】C【解析】281yx，令0y，解得9x或9x(舍去)．当09x时，0y；当9x时，0y，则当9x时，y取得最大值．【例1】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(10x)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）典例剖析考点1用料费用最少问题【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为()fx元，则216010000()(56048)2000fxxx1080056048xx*(10,N)xx∴21080048fxx，令0fx，解得15x．当15x时，0fx，当015x时，0fx因此当15x时，()fx取得最小值152000f答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．【例2】（2012佛山二模）某种产品的成本为6，每件售价为x元（6x），年销售量万件，且221585()48kx，k为常数．已知售价为10元时，年销售量28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式；（2）售价为多少时，年利润最大？求出最大年利润．考点2利润最大问题【解析】（1）由题意，知10x时，28，∴22158528(10)48k，解得2k．∴221585(6)(6)[2()]28yxuxx2(6)(22118)xxx32233108108(6)xxxx．（2）由（1）知32233108108(6)yxxxx，∴2666108yxx26(1118)xx6(2)(9)xx，当69x时，0y；当9x时，0y；∴函数在(6,9)单调递增，在(9,)单调递减．∴当9x时，y取得极大值（也是最大值），∴max135y万元，答：售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．考点3几何模型中的优化问题【例3】（2012济南质检）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如下图），当容器的容积最大时，求容器的高．【解析】设容器的高为xcm，容器的容积为3()cmVx，则32()(902)(482)42764320(024)Vxxxxxxxx，∵2()125524320Vxxx，令2()1255243200Vxxx，∴2463600xx，解得110x，236x（舍去）．∵当010x时，()0Vx，当1024x时，()0Vx，∴当10x时，()Vx在区间0,24内有唯一极值，且取极大值．∴容器高10cmx时，容器容积()Vx最大．1．在解决实际优化问题时，特别要注意函数的定义域．2．分段函数的最值问题，是先求出各段的最值，然后比较即可．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．归纳反思