专题限时集训(十二)[第12讲空间向量与立体几何](时间:45分钟)1.直线l1的方向向量s1=(1,0,-2),直线l2的方向向量s2=(-1,2,2),则直线l1,l2所成角的余弦值是()A.53B.-53C.23D.-232.平面α,β的法向量分别是n1=(1,1,1),n2=(-1,0,-1),则平面α,β所成锐二面角的余弦值是()A.33B.-33C.63D.-633.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的单位法向量是()A.±(1,1,1)B.±22,22,22C.±33,33,33D.±33,-33,334.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有OP→=xOA→+yOB→+zOC→(x,y,z∈R),则x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为()A.120B.1010C.-1010D.-1206.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.64B.104C.22D.327.若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是()A.a,a+b,a-bB.b,a+b,a-bC.c,a+b,a-bD.a+b,a-b,a+2b8.已知三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,∠ABC=60°,PB=AB=BC=6,则二面角C-PA-B的平面角的余弦值是________.9.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,则平面SCD与平面SBA所成锐二面角的余弦值是________.10.如图X12-1所示,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,则点M到直线AD1距离的最小值是________.图X12-111.如图X12-2所示,四边形ABCD是正方形,PD∥MA,MA⊥AD,PM⊥平面CDM,MA=12PD.(1)求证:平面ABCD⊥平面AMPD;(2)若BC与PM所成的角为45°,求二面角M-BP-C的余弦值.图X12-212.如图X12-3所示,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,AD⊥CD,三角形ADE是等边三角形,且平面ABCD⊥平面ADE,EF∥AB,CD=2AB=2AD=2EF=4,CG→=23CF→.(1)求证:AF∥平面BDG;(2)求二面角C-BD-G的余弦值.图X12-313.如图X12-4所示,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD,∠A1AC=60°.(1)证明:BD⊥AA1;(2)求二面角D-AA1-C的平面角的余弦值.图X12-414.如图X12-5所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上.(1)求异面直线D1E与A1D所成的角;(2)若二面角D1-EC-D的大小为45°,求点B到平面D1EC的距离.图X12-515.如图X12-6所示,放置在水平面上的组合体由直三棱柱ABC-A1B1C1与正三棱锥B-ACD组成,其中,AB⊥BC.它的正视图、俯视图、侧视图的面积分别为22+1,22+1,1.(1)求直线CA1与平面ACD所成角的正弦值;(2)在线段AC1上是否存在点P,使B1P⊥平面ACD.若存在,确定点P的位置;若不存在,说明理由.图X12-6专题限时集训(十二)1.A[解析]cos〈s1,s2〉=s1·s2|s1|·|s2|=-535=-53,故直线l1,l2所成角的余弦值是53.2.C[解析]cos〈n1,n2〉=n1·n2|n1|·|n2|=-23·2=-63,故平面α,β所成锐二面角的余弦值是63.3.C[解析]不难求出其一个法向量是(1,1,1),单位化得±33,33,33.4.B[解析]当x=2,y=-3,z=2时,即OP→=2OA→-3OB→+2OC→,则AP→-AO→=2OA→-3(AB→-AO→)+2(AC→-AO→),即AP→=-3AB→+2AC→,根据共面向量定理,P,A,B,C四点共面;反之当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理AP→=mAB→+nAC→,即OP→-OA→=m(OB→-OA→)+n(OC→-OA→),即OP→=(1-m-n)OA→+mOB→+nOC→,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故是充分不必要条件.正确选项为B.5.B[解析]设正方体棱长为1,以D为原点建立空间直角坐标系如图所示,则D(0,0,0),E0,12,1,A(1,0,0),C(0,1,0),所以DE→=0,12,1,AC→=(-1,1,0),则cos〈DE→,AC→〉=DE→·AC→|DE→|·|AC→|=1214+1·2=1010,则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为1010,选B.6.A[解析]设正三棱柱所有棱长均为a,以C为顶点,CA为x轴,CC1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B112a,32a,a,所以AB1→=-12a,32a,a,侧面ACC1A1的一个法向量为n=(0,1,0),设AB1与侧面ACC1A1所成角为θ,则sinθ=|cos〈n,AB1→〉|=|n·AB1→||n|·|AB1→|=32aa24+3a24+a2=64,故选A.7.C[解析]对于实数λ,μ,形如λa+μb的向量都与向量a,b是共面向量.因为a=12(a+b)+12(a-b),故选项A中的三个向量共面;因为b=12(a+b)-12(a-b),故选项B中的三个向量共面;因为a+2b=32(a+b)-12(a-b),故选项D中的三个向量共面.对于选项C,假设c=λ(a+b)+μ(a-b),则(λ+μ)a+(λ-μ)b-c=0,由于{a,b,c}为空间的一个基底,故a,b,c不共面,所以(λ+μ)a+(λ-μ)b-c=0⇔λ+μ=0,λ-μ=0,-1=0,这显然是不可能成立的,故选项C中的三个向量是不共面的,正确选项为C.8.77[解析]以B为原点,BA为x轴,BP为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(6,0,0),P(0,0,6),C(3,33,0),所以AP→=(-6,0,6),AC→=(-3,33,0),平面BAP的一个法向量为m1=(0,1,0),设平面CAP的一个法向量为m2=(x,y,z),则m2⊥AP→,m2⊥AC→,所以-6x+6z=0,-3x+33y=0⇒z=x,y=33x,可取m2=(3,1,3).设二面角C-PA-B的一个平面角为α,则cosα=|cos〈m1,m2〉|=|m1·m2||m1||m2|=13+1+3=77,所以二面角C-PA-B的平面角的余弦值是77.9.63[解析]如图所示建立空间直角坐标系,则依题意可知D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),可知AD→=12,0,0是面SAB的法向量.设平面SCD的法向量n=(x,y,z).∵SD→=12,0,-1,DC→=12,1,0,∴n·SD→=0,n·DC→=0,可推出x2-z=0,x2+y=0,令x=2,则有y=-1,z=1,所以n=(2,-1,1).设平面SCD与平面SBA所成的锐二面角为θ,则cosθ=|AD→·n||AD→||n|=12×2+0×(-1)+0×1122·22+12+12=63.10.33a[解析]设M(0,m,m)(0≤m≤a),AD1→=(-a,0,a),直线AD1的一个单位方向向量s=-22,0,22,由MD1→=(0,-m,a-m),故点M到直线AD1的距离d=|MD1→|2-|MD1→·s|2)=m2+(a-m)2-12(a-m)2=32m2-am+12a2,根式内的二次函数当m=--a2×32=a3时,取最小值32×a32-a×a3+12a2=13a2,故d的最小值为33a.11.解:(1)证明:∵PM⊥平面CDM,且CD⊂平面CDM,∴PM⊥CD,又ABCD是正方形,∴CD⊥AD,又PM⊂平面AMPD,AD⊂平面AMPD,而梯形AMPD中PM与AD不平行且不共线,∴CD⊥平面AMPD,又CD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面AMPD.(2)∵CD⊥平面AMPD,则CD⊥PD,CD⊥AD.又PD∥MA,MA⊥AD,∴PD⊥AD.以点D为原点,DA,DP,DC依次为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,不妨设MA=12PD=1,AD=a,则A(a,0,0),M(a,1,0),B(a,0,a),C(0,0,a),P(0,2,0),∴PM→=(a,-1,0),BC→=(-a,0,0),由BC与PM所成的角为45°,得|cos〈PM→,BC→〉|=a2a2+1·|a|=22,解得a=1,∴BP→=(-1,2,-1),PM→=(1,-1,0),求得平面MBP的一个法向量是n1=(1,1,1);BC→=(-1,0,0),BP→=(-1,2,-1),求得平面CBP的一个法向量是n2=(0,1,2).则cos〈n1,n2〉=n1·n2|n1|·|n2|=1+23·5=155,结合图形知,二面角M-BP-C的余弦值为-155.12.解:(1)证明:联结AC交BD于H,联结GH.∵ABCD=12,∴AHCH=12,∴CHAC=23,∴CHAH=CGGF=2,∴GH∥AF.∵GH⊂平面BDG,AF⊄平面BDG,∴AF∥平面BDG.(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),C(0,4,0),F(1,2,3),∴CG→=23CF→=23,-43,233,∴DG→=DC→+CG→=(0,4,0)+23,-43,233=23,83,233.DB→=(2,2,0).设平面BDG的法向量为n1=(x,y,1),则DB→·n1=0,DG→·n1=0,∴n1=33,-33,1.易知平面BDC的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos〈n1,n2〉=n1·n2|n1|·|n2|=153=155.∴二面角C-BD-G的余弦值为155.13.解:设AC交BD于点O,则BD⊥AC,联结A1O,在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,由余弦定理得A1O2=22+12-2×2×1×cos60°=3,故A1O=3,故A1A2=AO2+A1O2,由勾股定理的逆定理知A1O⊥AO,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,根据面面垂直的性质定理A1O⊥平面ABCD,故OB,OC,OA1两两垂直,以点O为坐标原点,射线OB,OC,OA1分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),D(-3,0,0),A1(0,0,3).(1)证明:BD→=(-23,0,0),AA1→=(0,1,3),BD→·AA→1=0,故BD⊥AA1.(2)由于OB⊥平面AA1C1C,∴可取n1=(1,0,0)为平面AA1C1C的一个法向量;设n2=(x,y,z)为平面A1AD的法向量,则n2·AA→1=0且n2·AD→=0,即y+3z=0且-3x+y=0,取x=1,则y=3,z=-1,即n2=(1,3,-1).显然二面角D-AA1-C为锐二面角,设其平面角为θ,则cosθ=|cos〈n1,n2〉|=|n1·n2||n1||n2|=55,故二面角D-AA1-C的平面角的余弦值为55.14.解:方法一,(1)联结AD1,由AD=AA1=1知四边形AA1D1D是正方形,故AD1⊥A1D.∵AB⊥平面AA1D1D,∴AD1是D1E在平面AA1D1D内的射影,根据三垂线定理得A1D⊥D1E,则异面直线D1E与A1