【金版学案】2015-2016高中数学 4.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2

4．1.2圆的一般方程学习目标预习导学典例精析栏目链接1．正确理解圆的一般方程及其特点．2．会求圆的一般方程．3．能进行圆的一般方程和标准方程的互化．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例精析题型一圆的一般方程的概念学习目标预习导学典例精析栏目链接例1下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解析：将其化成标准式再进行判断，并给出答案．(1)∵方程2x2＋y2－7x＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆；(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆；学习目标预习导学典例精析栏目链接(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆；(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为x－542＋y2＝542，∴它表示以54，0为圆心，54为半径的圆．学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的程序是：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即：①x2与y2的系数相等；②不含xy的项，当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数．(2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：(1)x2＋y2－6x＝0；(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；(3)x2＋y2－2ax－23y＋3a2＝0－62a62.解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆心为(3，0)，半径为3.(2)原方程化为x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.(3)原方程化为(x－a)2＋(y－3)2＝3－2a2.因为表示圆，所以3－2a20，从而该圆的圆心为(a，3)，半径为3－2a2.题型二求圆的方程学习目标预习导学典例精析栏目链接例2(多解题)求经过A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．解析：根据题中条件，既可设标准方程，也可设一般方程，有多种解法．解法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则有（－2）2＋（－4）2－2D－4E＋F＝0，82＋62＋8D＋6E＋F＝0，－E2－6－D2－8×－13＝－1，学习目标预习导学典例精析栏目链接整理得2D＋4E－F＝20，8D＋6E＋F＝－100，3D－E＝－36，解得D＝－11，E＝3，F＝－30.∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.解法二设圆心C(a，b)且圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵|CA|＝|CB|，CB⊥l，∴（a＋2）2＋（b＋4）2＝（a－8）2＋（b－6）2，b－6a－8×－13＝－1.学习目标预习导学典例精析栏目链接解得a＝112，b＝－32，从而r＝1252.故所求的方程为x－1122＋y＋322＝1252.解法三设圆心为C，则CB⊥l，∴CB的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.又AB的垂直平分线的方程为x＋y－4＝0，联立3x－y－18＝0，x＋y－4＝0，得圆心C112，－32.∴半径r＝112－82＋－32－62＝1252.∴所求圆的方程为x－1122＋y＋322＝1252.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：(1)求圆的方程的基本方法：确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法．其中，选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数．一般来讲，条件涉及圆上的点多，可选择一般方程，条件涉及圆心与半径，可选择标准方程．(2)求圆的方程的一般步骤：①根据题意选用圆的两种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；③解方程组．求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练2．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．(2)求过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，1)的圆的方程．解析：由题设三个条件，可利用待定系数法求方程，如利用弦的中垂线过圆心，也可先确定圆心，再求圆的半径．(1)解法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则4＋（－3）2＋2D＋（－3）E＋F＝0，（－2）2＋（－5）2＋（－2）D＋（－5）E＋F＝0，－D2－2·－E2－3＝0.学习目标预习导学典例精析栏目链接∴D＝2，E＝4，F＝－5.∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.解法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，a－2b－3＝0，⇒a＝－1，b＝－2，r2＝10.∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法三线段AB中垂线的方程为2x＋y＋4＝0.它与直线x－2y－3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离得r2＝10，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)解法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(*)把A、B、C三点坐标代入方程(*)得1－D＋F＝0，9＋3D＋F＝0，1＋E＋F＝0，∴D＝－2，E＝2，F＝－3.故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0.解法二线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线方程为x＋y＝0，由x＝1，x＋y＝0，得圆心坐标为M(1，－1)，半径r＝|MA|＝5，∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.题型三求轨迹方程学习目标预习导学典例精析栏目链接例3自圆x2＋y2＝4上的点A(2，0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨迹方程．解析：设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，则有x21＋y21＝4，且x＝x1＋22，y＝y1＋02.∴x1＝2x－2，y1＝2y.∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1.当A，B重合时，P与A点重合，不合题意，∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：求轨迹方程的一般步骤：①建系：建立适当的平面直角坐标系；②设点：用(x，y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；③列式：列出关于x，y的方程．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练3．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0，1)的直线l交圆于点A，B，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．解析：设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)．因为A、B在圆上，所以x21＋y21＝4，x22＋y22＝4，两式相减得x21－x22＋y21－y22＝0，所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，当x1≠x2时，有x1＋x2＋(y1＋y2)·y1－y2x1－x2＝0，①学习目标预习导学典例精析栏目链接并且x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，y－1x＝y1－y2x1－x2.②将②代入①并整理得x2＋y－122＝14.③当x1＝x2时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，－2)，这时点P的坐标为(0，0)也满足③，所以点P的轨迹方程是x2＋y－122＝14.