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随堂讲义专题八选修专题第一讲几何证明选讲几何证明选讲在高考全国卷中有一道选做题，难度中等，训练到位10分全拿，主要可能涉及相似形、圆的性质等知识点，是重要的得分点，需充分重视．例1如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于点O，OE交BC于E，交AB延长线于F，若AB＝a，BC＝b，BF＝c，求BE.思路分析：几何求值问题常常转化为解三角形(利用正、余弦定理或三角形相似)，本题所给出的长度已知的线段AB、BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形等量关系，通过作辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此过O作OG∥BC，交AB于G，构造△FEB∽△FOG求解．解析：过O作OG∥BC，交AB于G，显然OG是△ABC的中位线，OG＝12BC＝12b，GB＝12AB＝12a，在△FOG中，BE∥GO，所以△FEB∽△FOG.故BEOG＝FBFG，即BE＝FBFG·OG＝cc＋12a·b2＝bca＋2c.平面几何问题的条件较分散时，可适当添作辅助线，使得分散的条件适当集中．平行线分线段成比例定理常与三角形的中位线、梯形的中位线相结合，“出现中点作三角形的中位线”是常见的作辅助线的方法．1．如图所示，平行四边形ABCD中，点E在AB上，AC与DE交于点F，AE∶EB＝1∶2，若△AEF的面积为6，则△ADF的面积为18．例2如图所示，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于点E且EC＝ED.(1)求证：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，求证：A，B，G，F四点共圆．思路点拨：本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题．解析：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB.(2)由(1)，知AE＝BE.因为EF＝EG，所以∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB.故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．2．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为13．解析：因为A，B，C，D四点共圆，所以∠DAB＝∠PCB，∠CDA＝∠PBC.因为∠P为公共角，所以△PBC∽△PDA.所以BCAD＝PBPD＝13.例3如图所示，MA，MB是圆O的切线，A，B是切点，割线MCD交圆O于点C，D.求证：AC·BD＝BC·AD.思路点拨：考虑相似三角形．解析：∵MA，MB是切线，∴MA＝MB，∠MAC＝∠ADC，∠MBC＝∠BDC.∴△MAC∽△MDA，△MBC∽△MDB.∴ACDA＝AMDM，BCDB＝BMDM.∴ACAD＝BCBD，即AC·BD＝BC·AD.3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过点C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．解析：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，∴BC＝AB·sin60°＝103，∵CD是此圆的切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.在Rt△BCD中，CD＝BC·cos60°＝53，BD＝BC·sin60°＝15.由切割线定理可得CD2＝DE·DB，∴(53)2＝15DE，解得DE＝5.1．运用相似三角形性质解题的关键在于写出对应边所成的比例式，为此一定要首先认识对应角，通过对应角找出对应边．在准确写出对应边所成的比例式后，常规情况下结论也就产生了．2．在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．3．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．4．一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．5．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．