2018年金山高三数学二模(含答案)

高三数学试卷第1页共4页金山区2017学年第二学期质量监控高三数学试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．函数y=3sin(2x+3)的最小正周期T=．2．函数y=lgx的反函数是．3．已知集合P={x|(x+1)(x–3)0}，Q={x||x|2}，则P∩Q=．4．函数xxy9，x(0，+∞)的最小值是．5．计算：1111lim[()]2482nn=．2827V6．记球O1和O2的半径、体积分别为r1、V1和r2、V2，若1V，则12rr．7．若某线性方程组对应的增广矩阵是421mmm，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是．8．若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是．9．(1+2x)n的二项展开式中，含x3项的系数等于含x项的系数的8倍，则正整数n=．10．平面上三条直线x–2y+1=0，x–1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A=．11．已知双曲线C：22198xy，左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于P、Q两点，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ的内切圆的半径r=________．高三数学试卷第2页共4页12．若sin2018α–(2–cosβ)1009≥(3–cosβ–cos2α)(1–cosβ+cos2α)，则sin(α+2)=__________．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若向量a=(2,0)，b=(1,1)，则下列结论中正确的是()．(A)ab=1(B)|a|=||b(C)(ab)⊥b(D)a∥b14．椭圆的参数方程为sin3cos5yx(θ为参数)，则它的两个焦点坐标是()．(A)(4,0)(B)(0,4)(C)(5,0)(D)(0,3)15．如图几何体是由五个相同正方体叠成的，其三视图中的左视图序号是()．(A)(1)(B)(2)(C)(3)(D)(4)16．若对任意1(,1)2x，都有221xxx=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…，则32aa的值等于()．(A)3(B)2(C)1(D)1三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，PD平面ABCD，PD=8．(1)求PB与平面ABCD所成角的大小；(2)求异面直线PB与DC所成角的大小．PABCD第17题图(1)(2)(3)(4)几何体高三数学试卷第3页共4页18．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)复数2)i2321(z是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、nR)的一个根．(1)求m和n的值；(2)若(i)mnuuz(uC)，求u．19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知椭圆Γ：22143xy的右焦点为F，过点F且斜率为k的直线与椭圆Γ交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点(点A在x轴上方)，点A关于坐标原点的对称点为P，直线PA、PB分别交直线l：x=4于M、N两点，记M、N两点的纵坐标分别为yM、yN．(1)求直线PB的斜率(用k表示)；(2)求点M、N的纵坐标yM、yN(用x1,y1表示)，并判断yMyN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．1234-1-2-3-4-112yOPABMNxF第19题图高三数学试卷第4页共4页20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)已知数列{an}满足：a1=2，an+1=12an+2．(1)证明：数列{an–4}是等比数列；(2)求使不等式123nnamam成立的所有正整数m、n的值；(3)如果常数0t3，对于任意的正整数k，都有12kkatat成立，求t的取值范围．21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)=(x–1)2在定义域[m，n](m1)上为“依赖函数”，求实数m、n乘积mn的取值范围；(3)已知函数f(x)=(x–a)2(a34)在定义域[34，4]上为“依赖函数”．若存在实数x[34，4]，使得对任意的tR，有不等式f(x)≥–t2+(s–t)x+4都成立，求实数s的最大值．金山区2017学年第二学期质量监控高三数学评分标准一、填空题1．π；2．y=10x；3．{x|2x3}[或(2,3)]；4．6；5．1；6．23；7．m≠2；8．0.6；9．5；10．{–1，0，–2}；11．2；12．1．二、选择题13．C；14．A；15．A；16．B17．(1)连BD，因为PD平面ABCD，则PBD就是PB与平面ABCD所成的角，…3分在△PBD中，tanPBD=322，PBD=arctan322，……………………6分PB与平面ABCD所成的角的大小为arctan322；………………………………7分(2)因为AB∥DC，所以PBA就是异面直线PB与DC所成的角，……………10分因为PD平面ABCD，所以AB⊥PD，又AB⊥AD，所以AB⊥PA，在Rt△PAB中，PA=10，AB=6，tanPBA=35，PBA=arctan35，……………13分异面直线PB与DC所成角的大小为arctan35．…………………………………14分18．(1)因为z=2)i2321(=i2321，所以13i22z，……………………3分由题意知：z、z是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、nR)的两个根，由1313(i)(i)222211313(i)(i)2222nmm，……………………………………………5分解之得：11mn，………………………………………………………………………7分(2)设u=c+di(c,dR)，则(1+i)(c–di)+(c+di)=i2321，2c+d+ci=i2321…11分23212cdc，32123dc，…………………………………………………13分所以u=i)213(23．…………………………………………………………14分19．(1)设直线AB方程为(1)ykx，……………………………………………1分联立22(1)143ykxxy，消去y，得2222(43)84120kxkxk，…………2分因为11(,)Axy、22(,)Bxy，且2122212284341243kxxkkxxk，………………………………4分又11(,)Pxy，所以kPB=12121212(1)(1)34yykxkxxxxxk，……………6分(2)又直线PA的方程为11yyxx，则114Myyx，…………………………………8分由题意可知，111ykx，直线PB的方程为y+y1=113(1)4xy(x+x1)，…………10分则11113(1)(4)4Nxxyyy，……………………………………………………11分2211143xy，yMyN=2111113(1)(4)4xxyxx=22111134912xyxx=–9，综上，乘积yMyN为定值–9．………………………………………………………14分20．(1)由an+1=21an+2，所以an+1–4=21(an–4)，………………………………………2分且a1–4=–2，故数列{an–4}是以–2为首项，21为公比的等比数列；………………4分(2)由(1)题，得an–4=–21)21(n，得2142nna，…………………………………6分于是2114223142nnmm，当m≥4时，211421142nnmm，无解，………7分因此，满足题意的解为11mn或21mn或32mn；…………………………9分(3)解：①当k=1时，由322tt，解得0t1或2t3，………………………10分②当k≥2时，21423nna，故分母0nat恒成立，从而，只需ak+1–t2(ak–t)对k≥2，k∈N*恒成立，即t2ak–ak+1对k≥2，k∈N*恒成立，故t(2ak–ak+1)min，…………………………………………………………………………13分又1112432kkkaa，故当2k时，1min5(2)2kkaa，所以52t，综上所述，t的取值范围是(0,1)∪(2,25)．………………………………………16分21．(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=–x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”；……………………………………………………………4分(2)因为m1，f(x)=(x–1)2在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m–1)2(n–1)2=1，………5分由nm1，得(m–1)(n–1)=1，故1mnm，…………………………………………6分由nm1，得1m2，……………………………………………………………………7分从而211211mmnmmm在(1,2)m上单调递减，故(4,)mn，…9分(3)因43a，故2()()fxxa在4[,4]3上单调递增，从而4()(4)13ff，即224()(4)13aa，进而4()(4)13aa，解得1a或133a(舍)，………………………………………………………………13分从而，存在4[,4]3x，使得对任意的t∈R，有不等式22)41)((ttxsx都成立，即22(302)txtxsx恒成立，由22(4[]02)3xsxx，……15分得24(2)312xxs，由4[,4]3x，可得4(2)123xsx，又123yxx在4[,4]3x单调递增，故当4x时，max1239xx，从而4()92s，解得14s，故实数s的最大值为14．…………………………18分