多元函数微分学的几何应用

9.6多元函数微分学的几何应用DxyzOMxyP),(yxfz第9章多元函数微分法及其应用9.6多元函数微分学的几何应用2空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线9.6多元函数微分学的几何应用全微分的几何意义小结思考题第9章多元函数微分法及其应用一元向量值函数及其导数9.6多元函数微分学的几何应用引言：在多元函数部分，我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切线和空间曲面的切平面。在一元函数微分学中，我们可以利用导数确定曲线上某点处的切线斜率，并求出其切线和法线方程。9.6多元函数微分学的几何应用设空间曲线Γ的参数方程为],[)()()(ttztytx一、一元向量值函数及其导数rxiyjzk()()()titjtk()ft若记则Γ方程成为：))(),(),((ttt()rft],[t9.6多元函数微分学的几何应用1、一元向量值函数的定义：向量值函数，记作为一元：，则映射设数集nRDfRD()rftDt其中D叫函数的定义域，t为自变量，r叫因变量。说明：（1）向量值函数是数量值函数的推广（2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为f1(t)、f2(t)、f3(t)123()()()ftiftjftk()ft))(),(),((321tftftf则可表示为9.6多元函数微分学的几何应用（3）向量值函数的图像oyxzMΓ设向量r的起点在坐标原点，则终点M随t的改变而移动，点M的轨迹称为向量值函数r=f(t)的终端曲线，也称为该函数的图像，记作Γ123()((),(),())rftftftft反过来，向量值函数称为曲线Γ的向量方程。r)(tf9.6多元函数微分学的几何应用2、一元向量值函数的极限：000000()0()()tttttftrrfttt设向量值函数f在点的某一去心邻域内有定义，若存在一个常向量r对于任意正数，总存在正数，使得当满足时，不等式总成立，则称为当时的极限，记作00lim()ttftr9.6多元函数微分学的几何应用),,,(0pnmr0)(lim0rtftt则说明))(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt[计算方法]ptfntfmtftttttt)(lim,)(lim,)(lim321000[等价条件])(tf设))(),(),((321tftftf9.6多元函数微分学的几何应用3、一元向量值函数的连续性：的某邻域内有定义，若在点设向量值函数0)(ttf)()(lim00tftftt.)(0连续在则称函数ttf说明：（1）向量值函数连续等价于它的分量函数都连续；（2）若在某个区域内每一点都连续，则称该函数是该区域上的连续函数9.6多元函数微分学的几何应用4、一元向量值函数的导数：的某邻域内有定义，若在点设向量值函数0)(ttfrttfttftrtt)()(limlim0000.)(0处的导数或导向量在为函数存在，则称该极限向量ttf记作：.)(00ttdtrdtf或9.6多元函数微分学的几何应用说明（1）向量值函数可导等价于它的分量函数都可导，且（2）若在某个区域内每一点都可导，则称该函数是该区域上的可导函数；ktfjtfitftf)()()()(0302010（3）向量值函数的导数与数量值函数的导数运算法则形式相同（教材P92）.（4）向量值函数导向量的几何意义：9.6多元函数微分学的几何应用)(0tfOM)(0ttfON的方向向量为取割线MNrMNttttfttf)()(00oyxzM)(0tfN)(0ttfr的终端曲线，是向量值函数设空间曲线Dttfr),(,0,tMN即令得切线的方向向量：Tdttdfdttdfdttdf)(,)(,)(3210tt0ttdtrd9.6多元函数微分学的几何应用oyxzMNr结论：.)()(0处的一个切向量在点的终端曲线是向量值函数导向量Mtfrtf注意：该切向量指向与t的增长方向一致！9.6多元函数微分学的几何应用（5）向量值函数导向量的物理意义：)()(trdtrdtv向一致！速度方向总是与运动方:质点的运动速度向量)()(trdtvdta:质点的加速度向量小结求向量值函数的极限：各分量取极限求向量值函数的导数：各分量求导数9.6多元函数微分学的几何应用例).(lim)(sin)(cos)(4tfktjtittft，求设)(lim4tftktjtitttt444limsinlimcoslimkji42222解：9.6多元函数微分学的几何应用例Rttttttfr),62,34),1()(22设空间曲线Г的向量方程为求曲线Г在与t0=2相应点处的单位切向量.Rttttf),64,4,2()(),2,4,4()2(f.6244)2(222f解：所求单位切向量一个是：31,32,326)2,4,4(其指向与t的增长方向一致另一个是：31,32,32其指向与t的增长方向相反9.6多元函数微分学的几何应用17设空间曲线的方程)1()()()()(ttzztyytxx(1)式中的三个函数均可导.M),,(000zzyyxxM),,,(000zyxM设M1.空间曲线的方程为参数方程二、空间曲线的切线与法平面Oxyz.0ttt对应于;0tt对应于9.6多元函数微分学的几何应用18考察割线趋近于极限位置——xxx0ttt上式分母同除以,tMM割线的方程为MM,000zzzyyyxxxyyy0zzz0切线的过程Oxyz)Δ,Δ,Δ(000zzyyxxM),,(000zyxM9.6多元函数微分学的几何应用19,0,时即当tMM曲线在M处的切线方程)()()(000000tzzztyyytxxx切向量法平面切线的方向向量称为曲线的切向量.过M点且与切线垂直的平面.MMOxyz平面的点法式方程tttzzzyyyxxxΔΔΔ0000Δlimt0Δlimt0Δlimt0000),,,(ttzyxM对应于))(),(),((000tztytxT.0))(())(())((000000zztzyytyxxtx9.6多元函数微分学的几何应用20.0处的切线与法平面方程在t:求曲线ttuzttyuux30e1cossin2dcose解,0x,cosetxt,sincos2ttytz3e3,1)0(x,2)0(y3)0(z切线方程322110zyx法平面方程0)2(3)1(2zyx.0832zyx)()()(000000tzzztyyytxxx0))(())(())((000000zztzyytyxxtx例即,0时当t2z,1y9.6多元函数微分学的几何应用21设曲线直角坐标方程为,)()(100000xzzzxyyyxx.0))(())(()(100000zzxzyyxyxx法平面方程为2.空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,y0,z0)处,令)()(xzzxyy切线方程为x为参数,两个柱面的交线)()()(000000tzzztyyytxxxxx,)()(xzzxyy9.6多元函数微分学的几何应用22例在抛物柱面与的交线上,x为参数,于是,1x,12xyxz24212xz26xy21x解22126xzxyxx所以交线上与21x对应点的切向量为:T).12,6,1(交线的参数方程为取求对应的点处的切向量.9.6多元函数微分学的几何应用23设空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF3.空间曲线的方程为确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组:.)()(xzzxyy表示.)两个曲面的交线xx)(xyy)(xzz利用2.结果,切线方程为.0))(())(()(100000zzxzyyxyxx法平面方程为在M(x0,y0,z0)处,,)()(100000xzzzxyyyxx两边分别对x求导:),(),(xzxy求出0),,(0),,(zyxGzyxF将下面求出.9.6多元函数微分学的几何应用24xydd利用2.结果,0ddddxzGxyGGzyxzyzyGGFFxzxzGGFFzyzyGGFFyxyxGGFF)()(100000xzzzxyyyxx0ddddxzFxyFFzyx)()(100000xzzzxyyyxx两边分别对,0))(),(,(0))(),(,(xzxyxGxzxyxFx求全导数:xzdd9.6多元函数微分学的几何应用25.0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx切线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF所以在点M(x0,y0,z0)处的9.6多元函数微分学的几何应用26解的在点求曲线)2,3,1(80222222Pzyxzyx例切线方程和法平面方程.法一直接用公式.,8),,(222zyxzyxF令,),,(222zyxzyxG0PxF000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx代入公式,得切线方程,023331zyx02Px,20PyF02Py,320PzF02Pz;4令0PxG02Px,20PyG02Py,320PzG02Pz,49.6多元函数微分学的几何应用270)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy代入公式,得法平面方程法平面方程公式:.0633yx9.6多元函数微分学的几何应用28切线方程1x33dd0Pxy0dd0Pxz解将所给方程的两边对x求导,得法平面方程0)2(0)3(33)1(1zyx.0633yx3y2z1330的在点求曲线)2,3,1(80222222Pzyxzyx例切线方程和法平面方程.推导法)()(100000xzzzxyyyxx0dd2dd22xzzxyyxxzzxyyxdd2dd22法二即9.6多元函数微分学的几何应用29设曲线)(),(),(tzztyytxx证)]()[(txXtx因原点(0,0,0)在法平面上,0)()()()()()(tztztytytxtx即0][于是222]0)([]0)([]0)([tztytx证明此曲线必在以原点为中的法平面都过原点,在任一点心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为)),(),(),((tztytx故有)]()[(tyYty)]()[(tzZtz0C)()()(222tztytx任取曲线上一点0))(())((