自动控制原理

第五章线性系统的频域分析法第一节频率特性第二节典型环节与开环系统的幅相曲线第三节典型环节与开环系统的对数频率曲线第四节频域稳定判据第五节稳定裕度第六节闭环系统的频域性能指标第一节频率特性惯性环节的幅相曲线惯性环节的对数频率特性曲线惯性环节的对数幅相曲线第二节典型环节及开环系统的幅相特性曲线1、典型环节的幅相曲线最小相位环节7个1）比例环节；2）惯性环节；3）一阶微分环节；4）振荡环节；5）二阶微分环节；6）积分环节；7）微分环节非最小相位环节有5个：1）比例环节；2）惯性环节；3）一阶微分环节；4）振荡环节；5）二阶微分环节2、开环系统的幅相特性曲线：取点，计算，作图1）起点和终点；2）曲线与实轴的交点；3）单调性、象限第三节典型环节与开环系统的对数频率曲线一、典型环节的对数频率特性曲线最小相位有7个；非最小相位有5个二、开环系统的对数频率特性曲线对数幅频特性曲线是各典型环节特性曲线的叠加；对数相频特性曲线是各环节相角的代数和；1、将开环传递函数写成标准形式（时间常数型，即尾1多项式）；2、确定各个典型环节的交接频率：12,,ccww；3、确定低频渐近线，()vkjw，斜率20/vdBdec，经过点(1,20lg)k；4、在低频渐近线的基础上，按照交接频率从小到大的顺序，顺次叠加。例子5-15设某单位反馈系统的开环传递函数为，3210(1001)()()(101)(0.1251)(0.051)sGsHsssss试绘制其近似对数频率特性曲线。第四节频域稳定判据奈魁斯特稳定判据（奈氏判据），对数频域稳定判据特点：由开环频率特性曲线判定闭环系统的稳定性。一、奈氏判据的数学基础1、幅角原理幅角原理：设S平面闭合曲线包围()Fs的Z个零点和P个极点，则s沿顺时针运动一周时，在()Fs平面上，()Fs闭合曲线F包围原点的圈数为RPZ0R表示F顺时针包围()Fs平面的原点；0R表示F逆时针包围()Fs平面的原点；0R表示不包围()Fs平面的原点。2、复变函数()Fs的选择1）()Fs的零点为闭环传递函数的极点，()Fs的极点为开环传递函数的极点；2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，所以()Fs的零点和极点个数相同；3）s沿闭合曲线运动一周所产生的两条闭合曲线F和GH只相差一个常数1，即闭合曲线F可由GH沿实轴正方向平移一个单位长度获得。闭合曲线F包围()Fs平面原点的圈数等于闭合曲线GH包围()Fs平面(1,0)j点的圈数。3、S平面闭合曲线的选择1）()()GsHs没有虚轴上的极点时2）()()GsHs具有虚轴上的极点时：积分或等幅振荡环节4、()()GsHs闭合曲线的绘制S平面闭合曲线关于实轴对称，鉴于()()GsHs为实系数有理分式函数，故闭合曲线GH也关于实轴对称，因此只需绘制GH在Im0,()ss对于的曲线段，得()()GsHs得半闭合曲线，称为奈魁斯特曲线，仍记为GH。1）若()()GsHs无虚轴上极点，对应为开环幅相曲线2）若()()GsHs有虚轴极点a、含有积分环节从(0)(0)GjHj点起，逆时针作半径无穷大，圆心角为90v的圆弧。b、含有等幅振荡环节从()()nnGjwHjw点起以半径为无穷大顺时针做1180v的圆弧至()()nnGjwHjw5、闭合曲线F包围原点圈数R的计算根据半闭合曲线GH可获得F包围原点的圈数R。设N为GH穿越(1,0)j点左侧负实轴的次数，N表示正穿越的次数和（自上而下穿越），N表示负穿越的次数和（自下而上穿越），则22()RNNN.0NN，0R1NN，0R11,2NN，1R3,02NN，3R二、奈魁斯特稳定判据1、奈奎斯特判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线反时针包围临界点（-1，j0）的圈数R等于开环传递函数右半平面的极点数P。当开环传递函数没有右半S平面的极点时，闭环系统稳定的充要条件为奈氏曲线不包围临界点。如果R不等于P，则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根的个数Z可按下式确定；ZPR实际应用：22()ZPNPNN如果Z为零，则闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定，Z为闭环正实部特征根的个数。三、对数频率稳定判据（实质为奈氏判据）关键问题：根据半对数坐标下的曲线确定穿越次数NNN.首要问题：建立奈氏曲线和对数曲线的对应关系.1、穿越点的确定设cww时()1()20lg()0cccAwLwAw，称cw为截止频率.对于复平面的负实轴和开环对数相频特性，当取频率为穿越频率xw时()(21),0,1,2xwkkL：对数幅频曲线和,：对数相频曲线分别为，显然L就是()Lw，则当()1Aw时GH穿越负实轴的点就等价于在半对数坐标下，()0Lw时对数相频曲线与(21),0,1,2kk平行线的交点。2、的确定1）开环系统无虚轴上极点时，等于w；2）开环系统存在积分环节1(0)vvs：奈氏判据需要从GH的起点(0)(0)GjHj起，逆时针补作角度为90v，半径为无穷大的圆弧。对应地，需从对数相频特性曲线w较小且()0Lw的点处向上补作90v的虚直线，两者构成；3）开环系统存在等幅振荡环节11221(0)()vnvsw时，奈氏判据需要从()()nnGjwHjw起，顺时针补作1180v的虚直线至()()nnGjwHjw处，对应地，需从对数相频特性曲线()nw点起向上补作1180v的虚直线至()nw，两者构成。3、穿越次数的计算1）正穿越一次：GH由上而下穿越(1,0)j点左侧负实轴一次，等价于在()0Lw，由下向上穿越(21)k线一次；2）负穿越一次：GH由下而上穿越(1,0)j点左侧负实轴一次，等价于在()0Lw，由上向下穿越(21)k线一次；3）正穿越半次：GH由上向下止于或由上向下起于(1,0)j点左侧的负实轴，等价于在()0Lw时，由下向上止于或由下向上起于(21)k线；4）负穿越半次：GH由下向上止于或由下向上起于(1,0)j点左侧的负实轴，等价于在()0Lw时，由上向下止于或由上向下起于(21)k线；特别指出：补作的虚直线所产生的穿越皆为负穿越。对数稳定判据：设P为开环系统正实部的极点数，反馈系统稳定的充要条件是()(21);0,1,2,cwkk且()0Lw，穿越(21)k线的次数NNN满足20ZPN.例子5-17已知某系统开环稳定，开环幅相曲线如图所示，试将开环幅相曲线表示为开环对数频率特性曲线，并运用对数稳定判据判定系统的闭环稳定性。例子5-18已知开环系统型次3,0vP，开环对数相频特性曲线如图示，图中cww时，()()0dBcLwLw，试确定闭环不稳定极点的个数。第五节稳定裕度表征系统稳定程度的指标。包括相角裕度和幅值裕度h两项。1、相角裕度：0180()()ccGjwHjw，其中cw为截止频率。含义：如果系统对频率cw信号的相角滞后再增大度，则系统处于临界稳定状态。2、幅值裕度h：幅相曲线上，相角为180这一频率所对应幅值的倒数，即：1()()gghGjwHjw含义：如果系统的开环增益增大到原来的h倍，则系统就处于临界稳定状态。奈氏曲线下稳定裕度对数频率曲线下稳定裕度例子5-19已知系统的开环传递函数为20()()(0.51)GsHsss，试计算相角裕量和幅值裕量。例子5-20已知单位反馈系统的开环传递函数3()()(1)KGsHss设K分别为4和10时，确定系统的稳定裕度。第六节闭环系统的频域性能指标反馈控制系统的闭环传递函数为()1()()()1()()()1()()GsGsHssGsHsHsGsHs其中()Hs为主反馈通道的传递函数，一般为常数。在()Hs为常数的情况下，闭环频率特性的形状不受影响。因此，研究闭环系统频域指标时，只需针对单位反馈系统进行。作用在控制系统的信号除了控制输入外，常伴随输入端和输出端的多种确定性扰动和随机噪声，因而闭环系统的频域性能指标应该反映控制系统跟踪输入信号和抑制干扰信号的能力。一、控制系统的频带宽度设()jw为系统闭环频率特性，当闭环幅频特性下降到频率为零时分贝值以下3分贝，即0.707(0)(dB)j时对应的频率称为带宽频率，记为bw，即当bww时，20lg()20lg(0)3jwj而频率范围(0,)bw称为系统的带宽。带宽是频域中一项非常重要的性能指标。对于一阶系统1()1sTs可求得带宽频率1bwT。对于二阶系统222()2nnnwsswsw由带宽定义可求得222(12)(12)1bnww.因此，二阶系统的带宽和nw成正比，和成反比.根据时域分析法中一阶系统和二阶系统上升时间和过渡时间与参数的关系可知，系统的单位阶跃响应速度和带宽成正比，对于任意阶次的控制系统，这一关系仍然成立。二、确定闭环频率特性的图解方法频率法设计系统主要围绕带宽来进行的，为了设计合适的系统带宽，需要确定闭环频率特性。工程上常用等M和等N圆图，直接由单位反馈系统的开环频率特性曲线绘制闭环特性曲线，而不必进行任何计算。()()()GjwXwjYw()()()()1()jwGjwjwMweGjw222211(1)GXjYXYMGXjYXY经过变换可得，22222211MMXYMM2222()1(1)XjYXXYjYjwXjYXY用N表示闭环相频特性正切，可得22tan()YNwXXY，因此2222111224NXYNN.利用等M和等N圆图，由开环幅相曲线与等M和等N圆图的交点，可求得相应频率的M和N值（进而求得值）。三、闭环系统频域指标与时域指标的转换时域指标：物理意义明确、直观，但是不能直接应用于频域的分析与综合。鉴于系统开环频域指标相角裕度和截止频率cw的大小在很大程度上决定了系统的性能，而且可以利用开环对数频率特性曲线确定，因此工程上常用和cw来估算系统的时域性能指标。1、系统闭环频域指标和开环指标之间的关系1sinrM2、开环频域指标与时域指标的关系422arctan412