复变函数考试要求与知识点

复变函数考试题型与基本要求考试题型：一、单选题（每题3分，共15分）二、填空题（每题3分，共15分）三、计算题（每题7分，共42分）四、解答题（每题7分，共28分）第一章、复数与复变函数（作为基础内容后面应用）1、熟练掌握复数的定义及三种表示法；2、熟练掌握复数的一些相关概念及性质（例如模、辐角与主辐角，复数的共轭等）；3、熟练掌握复数的基本运算（四则运算、乘幂和方根）；4、熟悉复平面上几种曲线的表示法：（1）圆周方程RazC||:（2）圆的方程RazK||:（3）曲线的参数方程：itytxtzz)()()(，t实分析中参数方程)()(tyytxx，t（4）复平面上连接点1z和2z的直线段方程为tzzzz121，10t5、了解复变函数的极限定义与计算方法（对于解析函数可用洛比达法则）第二章、解析函数（约33分）1、深刻理解函数可微与解析的定义和关系2、熟练掌握复变函数的导数计算公式3、熟悉柯西—黎曼方程形式4、熟练掌握复变函数可微与解析的判别条件（主要是充分条件）5、熟悉初等解析函数ze，zsin，zcos的定义形式及性质（尤其要注意和实分析的区别）6、熟练掌握多值函数Lnz，nz的定义及计算（注意辐角）7、掌握函数nzP)(分支点的判断方法第三章、复变函数的积分（约24分）1、深刻理解复积分的定义2、熟练掌握复积分的计算方法（1）参数方程法（2）化为实分析中第二型曲线积分（3）利用柯西积分公式（4）利用无穷可微性定理（5）利用复合闭路原理（6）利用柯西留数定理（较方便）3、熟练掌握判断二元实函数为调和函数的方法，并能由),(yxu求),(yxv，使iyxvyxuzf),(),()(解析（1）利用偏微分方程的方法（较简单，分两次求不定积分）（2）利用线分析取折线的方法（类似于数分中路径无关性时原函数的求法）第四章、解析函数的幂级数表示法（作为基础内容后面应用）1、熟练掌握幂级数中收敛半径和收敛圆的求法（注意圆心不在原点时的情形怎么处理）2、熟记几类初等函数的展开式及收敛范围（间接展开时经常用到，同时能掌握由定理4.16求收敛半径的方法）3、掌握解析函数零点定义及判断方法：（1）定义法（2）定理4.17第五章、解析函数的洛朗展式与孤立奇点（约17分）1、熟练掌握解析函数在圆环域及孤立奇点去心邻域内的洛朗展式（考题中会给出具体的范围）（尽量不用级数乘积或和的表达式，需要写出具体式子）2、熟练掌握奇点类型的判断，包括无穷远点，极点写出其阶数（需要写出过程）奇点孤立奇点非孤立奇点有限奇点az在奇点处的函数极限为在奇点处的洛朗展式中函数若干个奇点的聚点（在非孤立奇点的去心邻域内没有洛朗展式）可去奇点有限值无负幂项极点无穷m项负幂项本质奇点不存在无穷项负幂项无穷远点z同上同上改为正幂项第六章、留数理论及其应用（约20分）1、理解留数的定义及留数定理2、熟练掌握有限奇点处留数的计算（重点是极点）（1）az为函数)(zf的一阶极点时)(limRezfazsazaz，具体有①azzzf)()(，)(Reasaz；②)()()(zhzgzf，)()(Reahagsaz（2）az为函数)(zf的可去奇点时0Reazs（3）az为函数)(zf的本质奇点时1ReCsaz3、利用留数计算第三类积分，即dxexQxPIimx)()(（注意此积分包含两个实积分，21III，mxdxxQxPIcos)()(1，mxdxxQxPIsin)()(2，考试中一般只要求计算对应的实部或虚部）4、了解辐角原理的内容及应用（借助零点和极点个数求函数沿周线的辐角变化）5、理解并能熟练运用鲁歇定理判断方程根的个数及范围6、了解对数留数定义及引理6.4内容。