上机教学三微分方程求解-23页

《高等数学》—上机教学（三）微分方程求解上机目的上机内容MATLAB2、学会用Matlab求微分方程的数值解.上机软件1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解.1、求简单微分方程的解析解.4、上机作业.2、求微分方程的数值解.3、数学建模实例.1、微分方程的解析解求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)记号:在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求高阶微分.任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省.例如，微分方程022dxyd应表达为：D2y=0.例1求21udtdu的通解.解输入命令：u=dsolve('Du=1+u^2','t')结果：u=tan(t+c1)例如求下例微分方程的特解。,(0)xdyeyedx在Matlab命令窗口中输入：y=dsolve('Dy=exp(x)','y(0)=exp(1)','x')输出结果为：y=exp(x)-1+exp(1)如想画出函数在自变量x在区间[-10,10]的函数图像，可在命令窗口中输入：ezplot(y,[-10,10])例2求微分方程的特解.15)0(',0)0(029422yyydxdydxyd解输入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')结果为:y=3*exp(-2*x)*sin(5*x)作图命令：ezplot(y,[1.0,4])例3求微分方程组的通解.zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx244354332解输入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t');x=simple(x)%将x化简y=simple(y)z=simple(z)运行结果为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t,y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t,z=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t.2、微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解.而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式.因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的.0000121212y'f(x,y)xy(x)y(x),(),,()y,,,nnnyxxxxxyxyxyy对常微分方程：，其数值解是指由初始点开始的若干离散的值处，即对，求出准确值的相应近似值。（二）建立数值解法的一些途径001i)y(xy)f(x,y',1,2,1,0,xynihxi解微分方程：可用以下离散化方法求设1、用差商代替导数若步长h较小，则有hxyhxyxy)()()('故有公式：100(,),i0,1,2,,n-1.(),iiiiyyhfxyyyx此即欧拉法.2、使用数值积分对方程y’=f(x,y),两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：))](,())(,([2))(,()()(11111iiiiiixxiixyxfxyxfxxdttytfxyxyii实际应用时，与欧拉公式结合使用：,2,1,0)],(),([2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii的计算。然后继续下一步，取时，当满足，对于已给的精确度）（yy2i111i)(1)1(1kikikiyyy此即改进的欧拉法.故有公式：)()],(),([200111xyyyxfyxfhyyiiiiii3、使用泰勒公式以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法.4、数值公式的精度当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式.k越大，则数值公式的精度越高.•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式.•龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式.•线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式.（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意:例42221000(1)0,(0)2;'(0)0.dxdxxxdtdtxx解:令y1=x，y2=y1’则微分方程变为一阶微分方程组：122212112','1000(1),(0)2,(0)0.yyyyyyyy1、建立m-文件vdp1000.m如下：functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);2、取t0=0，tf=3000，在matlab主命令窗口中输入命令：[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3、结果如图：050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52例5解微分方程组.123213312123',','0.51,(0)0,(0)1,(0)1.yyyyyyyyyyyy解1、建立m-文件rigid.m如下：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令：[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、结果如图：024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.（一）导弹追踪问题设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一：（解析法）假设导弹在t时刻的位置为P(x(t),y(t))，乙舰位于),1(0tvQ.由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有xytvy1'0即yyxtv')1(0(1)又根据题意，弧OP的长度为AQ的5倍，即tvdxyx0025'1(2)3、数学建模实例由(1),(2)消去t整理得模型:21(1)1',(3)5xyy初值条件为:0)0(y，0)0('y.解即为导弹的运行轨迹:245)1(125)1(855654xxy当1x时245y，即当乙舰航行到点)245,1(处时被导弹击中.被击中时间为:00245vvyt.若v0=1,则在t=0.21处被击中.解法二：(数值解)1.建立m-文件eq1.mfunctiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(2)^2)/(1-x);2.取x0=0;xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：x0=0;xf=0.9999;[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),'b.')holdon;y=0:0.01:2;plot(1,y,'r*')结论:导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰.21(1)''1'5xyy12222'1'1/(1)5yyyyx令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组.解法三：(建立参数方程求数值解)设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t))，导弹的坐标为(x(t)，y(t)).1．设导弹速度恒为w，则222)()(wdtdydtdx（1）2.由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量，即：yYxXdtdydtdx，0（2）消去λ得：)()()()()()(2222yYyYxXwdtdyxXyYxXwdtdx（3）3．因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t因此导弹运动轨迹的参数方程为：22225(1),(1)()5(),(1)()(0)0,(0)0.dxxdtxtydytydtxtyxy4.解导弹运动轨迹的参数方程(1)建立m-文件eq2.m如下：functiondy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);（2）取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：[t,y]=ode45('eq2',[02],[00]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'-')holdon;plot(y(:,1),y(:,2),'*')5.结果见图1导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰，与前面的结论一致.图1图2在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1，0.5,0.25,…,直到tf=0.21时，得图2.结论：时刻t=0.21时，导弹在（1，0.21）处击中乙舰.4、上机作业（三）3.鱼雷追击问题一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1公里处．我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。试问敌舰航行多远时将被击中？1.求微分方程，在初值条件下的特解，并画出解函数的图形.0'xxyye12()ye2.求微分方程的特解.22450(0)0,'(1)10dydyydxdxyy4.一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为:x=10+20cost,y=20+5sint.突然有一只狗攻击他.这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹.(选作)2009年6月（慢跑者与狗）谢谢你的阅读知识就是财富丰富你的人生