量子力学的矩阵形式与表象变换

4.5量子力学的矩阵形式与表象变换量子力学常用有两种理论形式：本节内容：4.5.1量子态的不同表象，幺正变换。二者通过表象变换可以等价。薛定谔的波动力学采用的坐标表象；海森堡当初矩阵力学采用的能量表象。1、薛定谔的波动力学；2、海森堡的矩阵力学。4.5.2力学量（算符）的矩阵表示。4.5.3量子力学的矩阵表示。4.5.4力学量的表象变换。4.5.1量子态的不同表象，幺正变换。1、同一矢量A的不同坐标表示及其变换。同一量子态的不同表象表示及其变换类似于同一矢量A的不同坐标表示及其变换。。A）.取一个坐标系，相当取三个基矢:三个基矢是正交归一：ei·ej=δij),,,(321eeeB）任一矢量Ａ可按基矢{ei}展开：A＝A1e1+A2e2+A3e3矢量Ａ可按展开系数即坐标来表示：其中，系数Ai=(ei·A)321AAAAC）.同一矢量A，取不同的坐标系，其坐标表示是不同的。不同坐标系基矢之间、同一矢量不同坐标表示之间可以变换。这样的三维空间叫位形空间或牛顿空间。),,,(321eee),,,(321eee321AAAA321AAAA以二维坐标系间变换为例。设新坐标系相对原坐标系顺时针转过θ角。则),(21ee),(21ee1e2e1e2eθθ22112121),(),(dcdceeee,22111ecece,22112edede)(),(cossinsincos),()()()()(),(),(2121221221112121UeeeeeeeeeeeeeeeeU是么正矩阵，U＋＝U－1，即U+U=I。B＋称厄米共轭矩阵，定义：这样变换称么正变换cossinsincos)(Ucossinsincos)(U*~BB　，得由　21212211),(AAeeeAeAA12121121URRU－－）＝（，）（＝＝AAAAAA练习，求证U是么正矩阵。)(),(),(2121Ueeee基矢变换：同一矢量不同坐标变换：21121UAAAA－＝么正变换小结2、量子态的表象及其变换设力学量Ｑ，本征函数｛Ｕn｝,满足：由{Un}的完备性，任何态函数ψ(x)都可以用{Un}展开，即ψ(x)＝∑nanUn(x).其中an＝∫U＊n(x)ψ(x)dx.nnnUqUQˆA）、量子态的表象定义现把力学量算符Ｑ的本征函数｛Ｕn｝看成是某多维坐标系的一套基矢,任何态函数ψ(x)看成一个矢量，叫态矢。展开系数｛ak}就是坐标，排成单列矩阵：21aa量子力学把选定算符Q与正交归一完备本征函数{Un}称之为Ｑ表象。任一态ψ(x)按算符Q的本征函数{Un}展开系数｛ak}所成的单列矩阵ψ就是ψ(x)所描述的态在Ｑ表象的表示。B)、表象与三维空间的类比1）Ｑ表象本征函数→三维空间坐标系基矢都是正交归一,但Ｑ表象是多维的，甚至是无限维的。这种由无限或有限维的本征函数作基矢构成的空间叫希尔伯特空间2）态函数（叫态矢）→三维空间的矢量A；3）态函数在Ｑ表象单列矩阵→三维空间矢量坐标表示；4）不同表象之间变换（表象变换）→坐标系之间变换。二者变换都是么正变换，包括基矢（本征函数）与展开系数间的变换。C）表象例子D）不同表象间变换设F表象，基矢为｛ψk},F′表象，基矢为｛ψ′k},mmmkkkaa由　kkmkkkakmmaSa),（　　就是么正变换矩阵（),kmmkS－＞a´=Sa基矢变换：Ψ´＝ΨS-1，＜－Ψa=Ψ´a´=Ψ´SaΔ有关矩阵知识(参考周世勋书P250－255）1．对角矩阵Anm=amδnm.2.转置矩阵mnnmAA)~(3．厄米共轭矩阵(或称共轭矩阵)mnnmnmAAA)~()(运算规则：ABAB)(AA)(4.厄米矩阵，AAnmmnnmAAA)(当A是实矩阵时，厄米矩阵是对称矩阵。1AAIAA5.么正矩阵，或，称A为么正矩阵。本征方程：AX=λXA是n×n方阵，X是n行的单列矩阵，称本征矢，λ是常数，称本征值。7.矩阵的本征方程与求解1).矩阵A本征方程、本征矢与本征值2).矩阵A的本征方程求解由AX=λX,得（A-λI）X=0----（1）要有非零解，其系数矩阵行列式必须为0，即，称为久期方程。具体形式为：0IA032122322211131211nnnnnnnAAAAAAAAAAAA这是λ的n次方程,解出λ的n个根λi(会有重根,这是简并情况),就是n个本征值.将n个本征值一一代入本征方程(1),可以解出n个对应的本征矢Xi(i=1,2,…n).8.厄米矩阵的本征矢特点B.不同本征值的本征矢是正交的.当λi≠λj时,则0lkXXA.本征值是实数；0jiXX(列矩阵的本征矢正交定义:.)（若简并情况下k个本征矢不正交,可以通过线性组合,变为正交的k个本征矢）.C.厄米矩阵的本征矢的正交归一完备。ijjiXXΔ.本征矢的归一化:1iiXXiiXXC1Δ.未归一的归一化系数C:Δ.任意列矩阵X可用厄米矩阵的本征矢展开iiiXCXXXCjj(练习1）练习2，求σx=的本征矢与本征值。01109.矩阵迹（spurortrace）nnnA定义：spA=，（或写成trA）.公式：sp(AB)=sp(BA).厄米矩阵重要性：厄米算符→厄米矩阵，厄米算符的本征函数→厄米矩阵的本征矢。量子力学的所有公式都有对应的矩阵公式，求厄米算符的本征函数与本征值等价于求厄米矩阵的本征矢与本征值。4.5.2力学量（算符）的矩阵表示。1、取一个表象Q，其基矢为{Un}.算符在Q表象的矩阵表示定义为：Fˆ)ˆ,(ˆnmnmmnUFUdUFUFFˆ例1．波函数公式在Q表象里的矩阵表示为：B=FA具体形式为21222211121121aaFFFFFFbbnn21aaA是波函数ψ在Q表象的矩阵表示，21bbB是波函数在Q表象的矩阵表示。•算符与算符矩阵的对应1）若是厄米算符，则对应矩阵F是厄米矩阵，即F+=FFˆ2）若的矩阵分别为A，B，则的矩阵=AB。BAˆ,ˆBAˆˆ2、算符、本征矢在自身表象的矩阵表示特点∆.即在自身Q表象的表示。Qˆ分立谱：，mnnnmmnqdUQUQˆ*Q是对角矩阵，对角元是本征值qn。连续谱：)(ˆ*qdUQUQQ也是对角矩阵，但对角元是无穷大。练习4：求Lx算符在（L2,Lz)的共同表象：(Y11,Y10,Y1-1)的矩阵。（答案见周世勋书P130习题4.5）0000000zL答案：练习3：求Lz算符在（L2,Lz)的共同表象：(Y11,Y10,Y1-1)的矩阵。∆.本征矢在自身Q表象的表示。分立谱:Un(x)=ΣmamUm(x),am=∫U*m(x)Un(x)dx=δmn,0010,0001,_____010021UUnUn例如行第写成列矩阵形式:连续谱：)()()()()(dxxUxUadxUaxU在自身表象下，连续谱本征函数就是δ函数。例如，坐标的本征函数在坐标表象里表示为：。)(rr动量的本征函数在动量表象里表示为：。)(pp3、算符在坐标、动量表象的矩阵表示),(ˆxixF1）坐标表象，本征矢为)(xx)()()(xxxdxxxxxxxxx)()())((xxxidxxxxixxpxx小结论：算符在坐标表象的矩阵表示是δ函数形式。在行列下标对应一致的前提下，则此δ函数前面那部分就是此算符在坐标表象的算符表示。)(),(ˆ)(),(ˆ)(xxxixFdxxxxixFxxFxx例子见书P129练习1。2）动量表象，本征矢为pxipex21)21()()(pppidxxxpppp)()(ˆppppppdxpppppp小结论：算符在动量表象的矩阵表示也是δ函数形式。在行列下标对应一致的前提下，则此δ函数前面那部分就是此算符在动量表象的算符表示。具体讲：a)在动量表象的算符表示分别为：zyxˆ,ˆ,ˆzyxpipipi,,或在动量表象的算符表示为：rpib)动量算符在动量表象的算符表示为：pˆPc)其他算符在动量表象的算符表示为：)ˆ,(ˆprF),(ˆpiFp练习5:在动量表象,的本征函数是什么?xˆ坐标表象、动量表象小结坐标表象动量表象rxˆ,ˆrx,xpipi,,xippxˆ,ˆrippx,)ˆ,ˆ(ˆprF),(ˆrirF),(ˆpiFprˆ)()(rrrrrpirep2/3)21()(本征矢pˆrpiper2/3)21()()()(pppp本征矢4.5.3量子力学的矩阵表示。介绍三个公式:薛定谔方程、平均值公式、本征方程的矩阵表示.一.薛定谔方程的矩阵表示HtiHtiˆ已知态函数,力学量L的平均值公式为:),(tr二.平均值公式的矩阵表示取F表象,其本征矢为：{φn}21aa)ˆ,(ˆkjkjjkHdFH)ˆ,(LLLL三.本征方程的矩阵表示FFˆ变换的规则:只要将波函数变为列矩阵,算符变为方矩阵,就可以将波函数与算符的量子力学公式变为矩阵表示的公式.∆本征方程求解，二个步骤：1、解乆期方程，得本征值λ。0IF2、将本征值一一代入本征方程，解出相应的本征矢。四.标积的矩阵表示设态矢量Ψ，φ在Q表象的表示分别为：,21aaA21bbBABabdnnn则　　4.5.4力学量的表象变换。设二个表象A，基矢：ψ=(ψ1，ψ2，…).B，基矢：Φ=(φ1,φ2,…).1.表象A→B的基矢间变换与变换矩阵S(φ1,φ2,…)=(ψ1，ψ2，…)S-1。S+=S-1，么正矩阵。),(nnndS2.同一态矢从A→B表象的变换21aaa),(trU设态在A表象：，在B表象：21bbbb=Sa3.同一算符不同表象的矩阵之间变换Fˆ算符在A表象的矩阵：dFFnmmnˆ在B表象的矩阵：dFFˆ在A表象矩阵F与在B表象矩阵F’的变换为：FˆSFSF4.从A→B表象的变换矩阵S的一个简单求法已知A表象本征矢（a1,a2,…）在自身表象中矩阵为：011a