均值不等式的证明方法及应用

第1页共20页均值不等式的证明方法及应用摘要均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。本文首先系统全面地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒公式法；其次,结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比较大小、求最值、证明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。关键词:均值不等式；数学归纳法；最值；极限；积分不等式第2页共20页PROOFSANDAPPLICATIONSONAVERAGEVALUEINEQUALITYABSTRACTAveragevalueinequalityoccupiesacorepositionininequalitytheoryandisoneofthemostwidelyusedinequalitiesinmodernmathematics.Usingaverageinequalitycanmakesomedifficultproblemssimple.Inthispaper,tenproofmethodsofaveragevalueinequalityarefirstsystematicallysummarized,includingCauchymethod,mathematicalinduction,Jenseninequality,inequalitymethod,geometrymethod,sortingmethod,variablesubstitutionmethodofaveragevalue,constructingprobabilitymodelmethod,successiveadjustmentmethod,Taylorformulamethod,respectively.Secondly,wegiveapplicationsofaveragevalueinequalitycombiningthecorrespondingexamplesoncomparingthesize,solvingmaximumandminimum,provingtheexistenceofthelimit,judgingconvergenceofseriesandprovingintegralinequality.Keywords:averagevalueinequality;mathematicalinduction;maximumandminimum;limit;integralinequality第3页共20页目录前言---------------------------------------------------------------------41均值不等式的证明方法---------------------------------------------------51.1柯西法------------------------------------------------------------51.2数学归纳法--------------------------------------------------------61.3詹森不等式法------------------------------------------------------71.4不等式法----------------------------------------------------------71.5几何法------------------------------------------------------------81.6排序法------------------------------------------------------------91.7均值变量替换法----------------------------------------------------91.8构造概率模型法----------------------------------------------------91.9逐次调整法-------------------------------------------------------101.10泰勒公式法------------------------------------------------------102均值不等式的应用------------------------------------------------------122.1均值不等式在证明不等式中的应用-----------------------------------122.2均值不等式在比较大小问题中的应用---------------------------------132.3均值不等式在求最值问题中的应用-----------------------------------132.3.1均值不等式求最值时常见错误---------------------------------142.3.2均值不等式求最值“失效”时的对策---------------------------162.4均值不等式在证明极限的存在性时的应用-----------------------------172.5均值不等式在判断级数敛散性中的应用-------------------------------192.6均值不等式在证明积分不等式中的应用-------------------------------193结论------------------------------------------------------------------21参考文献:---------------------------------------------------------------22致谢--------------------------------------------------------------------23第4页共20页前言不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具,而均值不等式是重中之重.通过学习均值不等式，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.因此，研究均值不等式的证明方法及应用，是一个既有理论意义又有广泛现实意义的问题.均值不等式的证明及运用均值不等式来解决数学中的某些问题，在数学研究中历历可见.如，比较大小、求函数的最值、证明不等式常利用均值不等式的方法进行解答.均值不等式还是高等数学中最基本的运算之一，作为最基本不等式，在解决高等数学问题中也发挥着重要的作用.运用均值不等式可以使复杂的问题简单化，繁琐的问题清晰化.著名数学家阿基米德1最先运用了均值不等式，证明了球和圆柱的相关问题.此后科学家们对均值不等式的证明方法进行了深入的研究，并在此基础上把均值不等式应用到了其他领域.当前,我国许多学者对均值不等式的证明方法及应用进行了大量的研究214.如，陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工作8.冉凯9对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨.均值不等式在解决许多问题中发挥着重要的作用.本文将对均值不等式的证明方法及应用进行归纳和总结.第5页共20页1均值不等式的证明方法首先,我们给出均值不等式.定理1设12,,...,naaa是n个正数，则1212nnnaaaaaan，11上式当且仅当12naaa时等号成立.上述不等式我们称之为算术—几何平均不等式,以后简称均值不等式.我们把12naaan和12nnaaa分别叫做这n个数的算术平均数和几何平均数,分别记做nAa和nGa，(1-1)式即为()nnaGAa.下面给出均值不等式的几种证明方法.1.1柯西法当2n时,由于120,0aa.有212()0aa,得12122aaaa.当4n时,12341234()()aaaaaaaa41234123412342244aaaaaaaaaaaa.当8n时,12345678()()aaaaaaaa441234567844aaaaaaaa8123456788aaaaaaaa.这样的步骤重复n次之后将会得到,令1211122,,;nnnnnnaaaaaaaaaaAn12有1122221212(2)()2nnnnnnnnnnnAnAAaaaAaaaA即1212nnnaaaaaan.这个归纳法的证明是柯西首次提出的,我们将它称之为柯西法.第6页共20页1.2数学归纳法证法一当2n时，不等式显然成立.假设当nk时,命题成立.则当1nk时,12111kkKaaaaAk,11121kKkGaaa.因为ia具有全对称性，所以不妨设1min1,2,,|,1{}iaaikk,1{|,,1}1,2,kiamaaxikk.显然111KkaAa,以及11110KkKaAaA.于是,111111()KkKkAaaAaa.所以12111111()(1)kKKKKKaaaAkAkAAAkkk=211121111()()kkKkkkKaaaaAaaaaAk.即12111()kkkkKAaaaaA两边乘以1KA,得111211112111()()kKkkKkKkkKAaaAaaAaaaaG.从而,有11KKAG.所以，由数学归纳法，均值不等式对一切n成立，即()nnAaGa.证法二当2n时，不等式显然成立；假设当nk时成立.则当1nk时，有1111(1)kkkkkakGkG，于是11111122111(1)()()kkkkkkkkkkakGGGaGGk11(1)1()2kkkakGGk11(1)1()2kkkakGAk.所以1112(1)(1)kkkkGkAkG,所以11kkGA.第7页共20页当且仅当11kkaG且1(1)kkkkGakG时等号成立.由数学归纳法知,均值不等式对一切n成立，即()nnAaGa．1.3詹森不等式法引理1(Jensen不等式)若()fx为区间I上的凸函数，对任意ixI，0(1,2,,)iin，且11nii，则11()()inniiiiifxfx(1-3)成立.下面利用詹森不等式证明均值不等式.令()lnfxx,(0)x,易知()fx在(0,)是凸函数.由于0(1,2,,)iain,令1in，则由引理1有下式,12121)(lnlnln)ln(nnaaaaaann.则12121211)(lnlnln)ln()ln(nnnaaaaaaaannna,因此11212)ln()ln(nnnaaaaana,即1212nnnaaaaaan,当且仅当12naaa时等号成立.1.4不等式法在均值不等式的证明中，可以运用一个特殊的不等式1xex进行推导.设()xfxe，对()xfxe应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得:2112xxexxe,第8页共20页其中,0x,01.因此,1xex,0x.当0x时，等号成立.下面给出均值不等式的证明过程.取一组数kx,