矩阵直积

第五章矩阵的直积第一节直积的定义与性质1112122122212A=(a),B=(b),aBaBaBaBaBaBaBaBaBABKroneckerAB=(aB)ijmnijpqnmmmnmpnqijmpnq定义：设称分块矩阵为与的直积(张量积或积).记为.2A=,B=3abcd例如：，则2222BB332A22AB==,BA==.BB223A333333ababababcdcdcdabcdcdAB,BAABBA..的阶数相同，但一般直积不满足交换律由直积的定义容易推出以下定理：IIIII.nmmnmn定理1：1)两个上三角矩阵的直积是上三角阵;2)两个对角矩阵的直积是对角阵;3)直积具有以下运算规律：111t11111ABAFBFF=CDCFDFB=B=A=B=AB=.ssntspssttsnpts命题1：1);2)设为列向量，且(,,),则(,,);3)设(,,)，(,,)则(,,,,,,)注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.()()()()AFBF()()()()CFDFijijijijijijijijabaFbFFcdcFdF证明：1)由定义得1=(),Tnaa2)设,,则1naBa1naBaB111nssaa(,,)(,,)1112112snnnsaaaaaa,,,,,111,,snnaaaa111,,snnaaaa1.s(,,)k)直积的基本性质：1)k(AB)=(kA)B=A(kB),为常数；2)分配律(A+B)CACBC,C(A+B)CACB;3)结合律(AB)CA(BC);4)吸收律(AB)(CD(AC)(BD),AC与BD有意义.kk))nmmnkk推论：1)(AB)=AB,=1,2,；2)(AI)(IB(IB(AI)AB.(乘法可交换)1122121212121122))()()(kkkkkkkk性质4可推广到一般情形：1)(AB)(AB(AB)(AAA)(BBB);2)(AAABBB)(ABABAB);范数有以下性质：1);2)-=;3)V,.xxxxxyxyxy命题：x时，是范数为一的向量（单位化），有3xx-y+yx-yyyy-x+xx-yx,-x-yx-yx-yxyxy证明：只证）我们有和所以，也就是1211112221211x(,,,),x,xmax,x(),xxx.nTnniiininniiCC例：=定义则，及均是中的范数12xxx证明：不难验证，均是范数，对于，正定性和齐次性显然满足.下证满足三角不定式：1212122221x(,,,),(,,,).x()=(,),xCauchyTTnnnnHniiyCxxxxC==注意到即是由酉空间中内积诱导的范数,设故由不定式得2222222222222222222x+y(,)(,)(,)(,)(,)x2Re(,)x2(,)x2xxxyxyxxxyyxyyxyyxyyyyy222x+yx.y所以11212px(,,,),x(),x.npTnpnipinpCC例：设1,=定义则是中的范数称为p-范数.==p-p1时，为1-范数；p2时，为2-范数；令,得范数.这三种范数为常见范数.12122VxxVkkxV,kxxkxxx.定义：设是有限维线性空间，,是中任意两种范数，若存在正数及，使得都有：，称与是等价的1.定理：有限维线性空间中的任何两种范数等价1111T1V,,VV(,,),=(,,).nnnnnneexeeeex证明：设是维线性空间，是的一组基，则，有唯一表达式：x=其中为的坐标向量111Vx,,(,,)x,Vnnniiiye可断言中任一范数都是关于的连续函数，令则，则有1111122221111221122111(,,)-(,,)()()()()(),().(,,)=,,=.nnniiiinnniiiiiiiiiniiininnieeekxyxxkye其中为常数所以是的连续函数1212xxVkkxV,kxxkx.现在证明定理的结论，设,是中任意两种范数，要证明存在正数及，使得都有：1112T111x0xx,,x,,,,xS={=,,|=1},SR(C).x,,xnnnnnnniinf，由于和都是的连续函数，故f()=仍是的连续函数，考虑有界闭当x=时，显然成立集()为或中的.当x时,x，所单位球面因为f()=以在Ｓ上，无零点．000012100001xxe,,eefS,Vx,=,,=.e=SnnySkk由闭区间上的连续函数性质知，在上取到最大最小值，即存在xyy其中()',y(，使得（x的坐标在上）有x)',',xx'11111/21/222112121x()Vee,'ee,''.=kxxkx.,S'.'nnnnnniiiixxxxxxkkxxxx将单位化得则'而此时，故设所以13()VV,lim0{},lim.mmmmmmxxxxxxxxx定义极限：设,,,是线性空间中元素序列，若使得：，称序列按-范数收敛于记为1-2-线性空间可定义多种范数收敛，如范数收敛，范数收敛，它们之间有什么关系呢？00002V{}{}.{}.mmmxxxxxxx定理：设是有限维线性空间，则1）序列按某种范数收敛于，则按任何范数收敛于，即有限维线性空间按范数收敛是等价的2）按范数收敛于按坐标收敛于1212xxVkkxV,kxxkx.证明：1）设,是中任意两种范数，则存在正数及，使得都有：0001001lim0,klim0{}mmmmmmmxxxxxxxxxx若，则有0所以，即按-范数收敛于.反之亦然.()()111(0)(0)011V,,.,1,2,,.mmnmnnnneeeemxee2）取的一组基底令x1221221-x(,,,),x().nTnniiC我们回忆2范数的定义=00212()(0)21()(0)lim0lim0lim()0lim,.mmmmnmiimimiimxxxxn由1)知道，按范数收敛是等价的，i=1，所以,2有注：有限维空间中的元列按任一种范数收敛均等价于按坐标收敛.任一m×n的矩阵均可看做mn维向量，故可将向量范数直接移植到矩阵上来.二、矩阵范数AC,,A1)A0A0A=02)CA=A;3)A+BAB,AA.mn定义4：若均对应一个实数记为，满足：，且；，则称是矩阵的向量范数（广义矩阵范数）1,vv,11/,v13AC,A=,A=max,A=(1)A.pmnmnijijijijpmnpijijaaap，，例：设则以及均是的范数类似的前面的讨论，我们有如下定理：12120k03ACACAAkkkAAkAAC;3){A}Alim,,.mnmnmnkijijkaaij定理：1）的任一种范数均是的元素的连续函数；2）的任两种范数均是等价的，即对，，存在正数及，使得，矩阵序列按任一范数收敛于矩阵可以视为拉直的向量，但是矩阵还有乘法运算，在考虑范数时，自然要两者兼顾，为方便起见，我们只考虑方阵：AC,,A1)A0A0A=02)CA=A;3)A+BAB4ABAB.AA.mn定义5：若均对应一个实数记为，满足：，且；，；）相容性，则称是矩阵的矩阵范数（或乘积范数）21/2,1/22v14AC,A==A.mnnnHijija，例：设则tr(AA)是的矩阵范数A=(a),B=(b),ijnnijnn证明：只需验证相容性，设则2222221122v1122221112222111122vvAB=()()()()()ABnnijijijinnjijijniinjnjijnniinjnjijcabababaabbHolderaabb，，，不等式（提取公因式）；222222vvvFABAB.FrobeniousF-A所以此范数称为范数,简称范数，常记为，它有很好的性质.2F21/2FFFF4ACCAxAx;,UA=AV=UAV=A=(t(AA)).nnnHUVr定理：1）,x,则2）为酉矩阵，有11inn1nAA=(a),A,A=,x=,AAAx,CauchyAijnnixx证明：记第行为即设则：由不等式有：22222111112222AxA,nnniiinnikkikkkkkTiaaaaxi=1,2,,n.2222222222F222111AAxAA=AxnnnTTiiikkkxxx所以.222F2AAxx因此.22FF2UA=tr(()())()()A,HHHHUAUAtrAUUAtrAA下证）：显然有HHFFFFUA=A.A=AV注意到，为酉阵所以，我们有HHHHFFFFFFFFAV=AVVAAA,AV=UAV=A.我们知道任何两种矩阵范数是等价的，任何两种向量范数也等价，故我们要问：给定矩阵范数，是否有与之相容的向量范数？反之，给定向量范数，又如何确定一个与之相容的矩阵范数？回答是肯定的.三、向量范数与矩阵范数的相容性vvvvAC,xC,xAAxAxxA.nnnmmm定义6：若向量范数与矩阵范数满足不等式：则称向量范数与矩阵范数相容向量范数与矩阵范数在运算中会同时出现，故建立它们之间的关系.因此我们引入定义：5ACC.nnn定理：设是上的一个矩阵范数,则必存在上与之相容的向量范数CxC,nnTvx证明：取定,则定义x=,则不难验证，它是一种向量范数，且与给定的矩阵范数相容.给定向量范数，如何确定一个与之相容的矩阵范数？我们有如下定理.x16xCACA=maxAx,Axx.vnnnvvvv定理：设是上的一个向量范数,则,定义则是一个与相容的矩阵范数，称此矩阵范数为从属于向量范数的算子范数000x1AxmaxAxA,(1).vvvvx是各分量的连续函数，故在有界闭集上可取到最大值，因此上述定义是有意义的.即存在x使得xx注：因为1101001x11A0,A0,,11,A=A0,A=maxAx0;vvvvvvvxx证明：1)正定性：若0，则存在x使得令xx则x故xx所以xx1x1CA=maxAx=maxAx=A;vvvv2)齐次性：，有00000x1x1A,BCCA+B=(A