3.4.3《简单线性规划的应用

•4．3简单线性规划的应用•1．线性目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)把直线l0：ax＋by＝0向右平移时，所对应的z随之，把l0向左平移时，所对应的z随之．在平移过程中与可行域相交的点和相交的点，可使目标函数z＝ax＋by＋c取得最值．也就是最优解．增大减小首先最后2．设z＝2x＋y，其中变量x，y满足条件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1.z的最大值和最小值分别为.12,3•线性规划的应用•线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出所有，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数，其次是准确找到，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清．限制条件目标函数•线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务．•在生产和生活中，常用于：①下料问题；②优化安排活动问题；③优化运营问题等．•利用线性规划的方法解决实际问题的过程可分为假设分配方案、确定目标函数、列出约束条件、画出可行域、确定最优解、确定目标函数最值、回归实际问题．•1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需载重6吨的汽车x辆，载重4吨的汽车y辆，则要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为()•A．z＝6x＋4yB．z＝5x＋4y•C．z＝x＋yD．z＝4x＋5y•答案：A•2．配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如表所示(单位：千克)•药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元．现有原料甲20千克，原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为________百元．原料药剂甲乙A25B54解析：设药剂A、B分别配x剂、y剂，则2x＋5y≤205x＋4y≤25x、y∈N＋，销售额z＝x＋2y，作出可行域如图．•答案：8令z＝0得直线x＋2y＝0，平移此直线过点M时z最大，由2x＋5y＝205x＋4y＝25，得M4517，5017，调整得最优解(2,3)，∴zmax＝2＋2×3＝8(百元)．•3．有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别为：磷酸盐2t，硝酸盐9t，利润8000元或磷酸盐2t，硝酸盐5t，利润6000元．工厂现有库存磷酸盐20t，硝酸盐70t，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最大利润？•即当直线8000x＋6000y－z＝0过(5,5)点时，z取得最大值．•即生产甲、乙两种肥料各5车皮时可获得最大利润．解析：设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．由题意得2x＋2y≤209x＋5y≤70，x≥0，y≥0工厂利润z＝8000x＋6000y.由2x＋2y＝209x＋5y＝70得x＝5y＝5’•某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？•先设仓库A运给甲、乙商店的货物吨数，利用题设等量关系表示出其他运物吨数，从而表示出目标函数—总运费，列出线性约束条件，建立线性规划模型．•[解题过程]将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表(即运费表，单位：元)•设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨、y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)吨；从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应分别为(7－x)吨，(8－y)吨，[5－(12－x－y)]吨，即(x＋y－7)吨，于是总运费为商店每吨运费仓库甲乙丙A869B345•z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126.•则问题转化为求总运费z＝x－2y＋126在约束条件12－x－y≥07－x≥08－y≥0x＋y－7≥0x≥0y≥0•答：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨；仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．作出上述不等式组所表示的平面区域，即可行域，作出直线l：x－2y＝0，把直线l作平行移动，显然当直线l移动到过点A(0,8)时，在可行域内，z＝x－2y＋126取得最小值zmin＝0－2×8＋126＝110.即x＝0，y＝8时，总运费最少．•[题后感悟](1)线性规划问题中条件往往较多，需注意借助表格或图形梳理题目中的条件．•(2)在切实认真审题的基础上，将约束条件全部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量是否为正整数或有其他范围的限制．•2.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m2，可做A，B外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3m2，可做A，B外壳各6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用料面积最小．解析：设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则3x＋6y≥45，5x＋6y≥55，x≥0，y≥0，所以总面积为z＝2x＋3y.作出可行域如图所示．当直线经过交点A时，z取得最小值．由3x＋6y＝45，5x＋6y＝55，得x＝5，y＝5.•所以zmin＝2×5＋3×5＝25.•即甲、乙两种钢板各用5张时，能保证制造A，B两种外壳的数量，同时又能使总的用料面积最小．•某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数是：A型卡车为4次，B型卡车为3次．每辆卡车每天往返的成本费为：A型卡车为320元，B型卡车为504元，请你为该公司调配车辆，使公司所花成本费最低．•解答本题可先转化为线性规划问题，再利用线性规划问题的知识求解，注意车辆数应为整数．[解题过程]设每天从该公司调出A型卡车x辆，B型卡车y辆，公司每天所花成本为z元，则z＝320x＋504y，其中x，y满足约束条件0≤x≤80≤y≤4x＋y≤1024x＋30y≥180x，y∈N，即0≤x≤80≤y≤4x＋y≤104x＋5y≤30x，y∈N，作可行域如图(阴影内的整点)所示．•作直线l′：320x＋504y＝0，•作一组与l′平行的直线l：320x＋504y＝t(t∈R)，•由题设x，y是可行域内的整点的横、纵坐标．•在可行域内的整点中，点(8,0)使t取最小值，•即当l过点(8,0)时，t最小，•即zmin＝8×320＝2560(元)．•答：每天从公司调A型卡车8辆就能完成任务，且公司所花成本费最低．•[题后感悟]对于线性规划中的最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面的方法求解：•(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解．•(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得最优解．•1．解答线性规划应用题的一般步骤：•(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．•(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．•(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．•(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．•2．解答线性规划应用题应注意的问题•(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；•(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；•(3)结合实际问题，分析未知数x、y等是否有限制，如x、y为正整数、非负数等；•(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；•(5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．◎有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于13，要使钢管截得的毛坯最多，有几种合理的截法？解析：设截500mm的x根，600mm的y根，则x、y满足的约束条件为500x＋600y≤4000，xy13，x∈N＋，y∈N＋，即5x＋6y≤40，3x－y0，x∈N＋，y∈N＋，【错解一】作出可行域如图阴影部分，目标函数z＝x＋y，作一组平行线y＝－x＋z，由图知，当直线过A时z最大由y＝3x，5x＋6y＝40，解得x＝11723，y＝5523，∴A11723，5523.此时x＋y＝62223.∵x，y∈N＋，∴x＋y的最大值为6，…【错因】此解法主要是由作平行线不准确造成的．直线5x＋6y＝40的斜率为－56，直线y＝－x＋z的斜率为－1，∵－56－1，∴直线5x＋6y＝40的倾斜角应大于y＝－x＋z的倾斜角．【错解二】作出可行域，如图阴影部分，由图知当直线y＝－x＋z过点B(8,0)时z最大，所以x＋y的最大值为8，……•【错因】此解法由于忽视了实际背景而致错．题目要求截两种毛坯，而非一种．事实上点B(8,0)也并不在可行域内．•【正解】作可行域如图所示，由图知当直线y＝－x＋z过点B(8,0)时z最大，此时x＋y＝8.∵x，y∈N＋，∴(8,0)不是最优解．在可行域内找整点(x，y)，使得x＋y＝7.经检验，可知点(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均为最优解．故有5种合理的截法．