柯西不等式

名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）柯西不等式名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）1．定理一：(二维形式的柯西不等式)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，a，b，c，d∈R.当且仅当ad＝bc时等号成立．2．定理二：(向量形式的柯西不等式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当β＝0，或存在一个数k，使α＝kβ(k≠0)时等号成立．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）3．定理三：(二维形式的三角不等式)：设x1，y1，x2，y2∈R＋，则x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y22，当且仅当x1＝x2，y1＝y2时等号成立．4．推论：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则：x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32当且仅当x1＝x2＝x3，y1＝y2＝y3∈R时等号成立．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）5．定理(柯西不等式一般形式)：设a1，a2，a3，…，an；b1，b2，b3，…，bn∈R，则：(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)，或存在一个数k，使ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时等号成立名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）a、b为非负数，a＋b＝1，x1，x2∈R＋.求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2【思路分析】不等号左边为两个二项式积，a、b为非负数，x1，x2∈R＋，每个两项式可以使用柯西不等式，直接做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了．用柯西不等式证明不等式名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【证明】∵a＋b＝1∴(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥(ax1x2＋bx1x2)2＝(a＋b)2x1x2＝x1x2即(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2【名师点睛】用柯西不等式证明不等式时，关键是将不等式配凑成柯西不等式的形式，通常要拆常数、重新安排某些项的次序(如例1)、改变结构(下面的延伸拓展)和添项等．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）1．若abc,求证：1a－b＋1b－c≥4a－c名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）思路分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了．证明：∵a－c＝(a－b)＋(b－c)∵ac∴a－c0∴结论改为(a－c)(1a－b＋1b－c)≥4(a－c)(1a－b＋1b－c)＝[(a－b)＋(b－c)](1a－b＋1b－c)≥(1＋1)2＝4∴1a－b＋1b－c≥4a－c名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）函数y＝5x－1＋10－2x的最大值为____________．【思路分析】将其配凑成柯西不等式的形式，然后用它求解，但要注意等号成立的条件．求特定函数的极值问题名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【解析】函数定义域为[1,5]，且y0.∴y＝5·x－1＋2·5－x≤52＋2·x－12＋5－x2＝63当且仅当2·x－1＝5·5－x，即：x＝12727时，函数取最大值63.【答案】63名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【名师点睛】有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则a的最值为____________．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）答案：21解析：由柯西不等式得(2b2＋3c2＋6d2)(12＋13＋16)≥(b＋c＋d)2即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，由条件可得，5－a2≥(3－a)2解得1≤a≤2，当且仅当2b1/2＝3c1/3＝6d1/6时等号成立，代入b＝1，c＝13，d＝16时，amax＝2，b＝1，c＝23，d＝13时，amin＝1名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）已知a2＋2b2＝6，则a＋b的取值范围是____________．【解析】∵(a2＋2b2)[12＋(12)2]≥(1·a＋2b·12)2＝(a＋b)2∴(a＋b)2≤6×32＝9，∴－3≤a＋b≤3，故a＋b的取值范围是[－3,3]【名师点睛】解此题关键在于构造因式，使其符合柯西不等式，此题有多种解法，比如用三角代换法求解，但过程较繁．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）3．函数y＝3sinx＋41＋cos2x的最大值为____________．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）答案：41解析：y＝3sinx＋41＋cos2x＝3sinx＋42cos2x≤sin2x＋cos2x[32＋422]＝41当且仅当sinxcosx＝±342即tanx＝±328时，函数有最大值41