平面向量同步练习

1平面向量的概念及线性运算A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为()A．1B．2C．3D．42．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()A.PA→＋PB→＝0B.PC→＋PA→＝0C.PB→＋PC→＝0D.PA→＋PB→＋PC→＝03．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→等于()A．0B.BE→C.AD→D.CF→二、填空题(每小题5分，共15分)5．设a、b是两个不共线向量，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________．6．在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝___(用a，b表示)．7．给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．三、解答题(共22分)8．(10分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？9．(12分)在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AG→.2B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·浙江)设a，b是两个非零向量．()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|2．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m等于A．2B．3C．4D．53．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ、μ，使λ·a＋μ·b＝0；③x·a＋y·b＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；④若四边形ABCD是梯形，则AB→与CD→共线．5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为________．6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.三、解答题7．(13分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求GA→＋GB→＋GO→；(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.3平面向量基本定理及坐标表示A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．与向量a＝(12,5)平行的单位向量为()A.1213，－513B.－1213，－513C.1213，513或－1213，－513D.±1213，±5132.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝2PA→，则()A．x＝23，y＝13B．x＝13，y＝23C．x＝14，y＝34D．x＝34，y＝143．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－12a＋32bB.12a－32bC．－32a－12bD．－32a＋12b4．在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→等于A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)二、填空题(每小题5分，共15分)5．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b的值为________．6．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC→＝23OA→＋13OB→，则|AC→||AB→|＝三、解答题(共22分)8．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？9．(12分)如图所示，M是△ABC内一点，且满足条件AM→＋2BM→＋3CM→＝0，延长CM交AB于N，令CM→＝a，试用a表示CN→.B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝35，则b等于()A．(－3,6)B．(3，－6)C．(6，－3)D．(－6,3)2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于()A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)43．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝π4，设OC→＝λOA→＋OB→(λ∈R)，则λ的值为()A．1B.13C.12D.23二、填空题(每小题5分，共15分)4．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.5．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝12ax与线段AB交于C，且AC→＝2CB→，则实数a＝________.6．设OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则1a＋2b的最小值是________．三、解答题7．(13分)已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM→＝t1OA→＋t2AB→.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1＝a2，求当OM→⊥AB→且△ABM的面积为12时a的值．5平面向量的数量积A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·辽宁)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于()A．－1B．－12C.12D．12．(2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于A.5B.10C．25D．103．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A.79，73B.－73，－79C.73，79D.－79，－734．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于()A．－32B．－23C.23D.32二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2012·课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.6．(2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.7．已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分)8．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)(n1)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.9．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．6B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→＝1，则BC等于()A.3B.7C．22D.232．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．23．(2012·江西)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2等于A．2B．4C．5D．10二、填空题(每小题5分，共15分)4．(2012·安徽)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.5．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．6．(2012·上海)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是________．三、解答题7．(13分)设平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α360°)，b＝－12，32.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．7平面向量的应用A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC中，已知向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形2．已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是A．－π6B．－π3C.π3D.2π33．已知P是△ABC所在平面内一点，若CB→＝λPA→＋PB→，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上4．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA→·PB→＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题(每小题5分，共15分)5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB→·AC→＝BA→·BC→＝1，那么c＝________.6．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤OP→·OM→≤1,0≤OP→·ON→≤1，则z＝OQ→·OP→的最大值为________．7．已知在△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，a·b0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________.三、解答题(共22分)8．(10分)已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.9．(12分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1,0)．(1)若x＝π6，求向量a与c的夹角；(2)当x∈π2，9π8时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．8B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．平面上O，A，B三点不共线，设OA→＝a，