基本不等式几大题型

题型1基本不等式正用a＋b≥2ab例1：(1)函数f(x)＝x＋1x(x0)值域为________；函数f(x)＝x＋1x(x∈R)值域为________；(2)函数f(x)＝x2＋1x2＋1的值域为________．解析：(1)∵x0，x＋1x≥2x·1x＝2，∴f(x)(x0)值域为[2，＋∞)；当x∈R时，f(x)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；(2)x2＋1x2＋1＝(x2＋1)＋1x2＋1－1≥2x2＋1·1x2＋1－1＝1，当且仅当x＝0时等号成立．答案：(1)[2，＋∞)(－∞，－2]∪[2，＋∞)(2)[1，＋∞)4．(2013·镇江期中)若x1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．答案：5[例1](1)已知x＜0，则f(x)＝2＋4x＋x的最大值为________．(1)∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－4－x＋－x.∵－4x＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝4－x，即x＝－2时等号成立．∴f(x)＝2－4－x＋－x≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.例：当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．3．函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值是________．解析：∵x1，∴x－10.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2x－13x－1＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．答案：23＋210．已知x＞0，a为大于2x的常数，求y＝1a－2x－x的最小值．解：y＝1a－2x＋a－2x2－a2≥212－a2＝2－a2.当且仅当x＝a－22时取等号．故y＝1a－2x－x的最小值为2－a2.题型2基本不等式反用ab≤a＋b2例：(1)函数f(x)＝x(1－x)(0x1)的值域为____________；(2)函数f(x)＝x(1－2x)0x12的值域为____________．解析：(1)∵0x1，∴1－x0,x(1－x)≤x＋1－x22＝14，∴f(x)值域为0，14.(2)∵0x12，∴1－2x0.x(1－2x)＝12×2x(1－2x)≤12·2x＋1－2x22＝18，∴f(x)值域为0，18.答案：(1)0，14(2)0，183．(教材习题改编)已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为________．解析：由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时等号成立．答案：123．函数y＝x1－x2的最大值为________．解析：x1－x2＝x21－x2≤x2＋1－x22＝12.4．已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23答案B解析∵0x1，∴1－x0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋1－x22＝34.当x＝1－x，即x＝12时取等号．10．已知x＞0，a为大于2x的常数，求函数y＝x(a－2x)的最大值；解：∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝12×2x(a－2x)≤12×2x＋a－2x22＝a28，当且仅当x＝a4时取等号，故函数的最大值为a28.题型三：利用基本不等式求最值2．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．答案－2解析∵t0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．例：当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解析：∵x0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．例1：(1)求函数f(x)＝1x－3＋x(x＞3)的最小值；(2)求函数f(x)＝x2－3x＋1x－3(x＞3)的最小值；思维突破：(1)“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值．(2)“拆项”，把函数式变为y＝M＋aM的形式．：(1)∵x＞3，∴x－3＞0.∴f(x)＝1x－3＋(x－3)＋3≥21x－3·x－3＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时取等号，∴f(x)的最小值是5.(2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0.∴f(x)＝t＋32－3t＋3＋1t＝t＋1t＋3≥2t·1t＋3＝5.当且仅当t＝1t，即t＝1时取等号，此时x＝4，∴当x＝4时，f(x)有最小值为5.技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如y＝cx2＋dx＋fax＋b(a≠0，c≠0)的函数，一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y＝t＋pt(p为常数)型函数，要注意t的取值范围；例：设x－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；解：∵x－1，∴x＋10.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴当x＝1时，函数y的最小值是9.1．若x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值是________．答案81解析由于x0，y0，则x＋y≥2xy，所以xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，xy取到最大值81.5．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为_______________．答案3解析∵x0，y0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．6．(2013·大连期中)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．解析：∵12＝4x＋3y≥24x×3y，∴xy≤3.当且仅当4x＝3y，4x＋3y＝12，即x＝32，y＝2时xy取得最大值3.答案：32．已知m0，n0，且mn＝81，则m＋n的最小值为________．解析：∵m0，n0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立．答案：185．已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，则z＝2x＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则2x＋5y≥210xy＝2，故2x＋5ymin＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．答案：2(2012·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．解析：由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a＋2b2(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)．又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)，∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.3．设x，y∈R，a1，b1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为()A．2B.32C．1D.12答案C解析由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a1，b1知x0，y0，1x＋1y＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3a＋b22＝1，当且仅当a＝b＝3时“＝”成立，则1x＋1y的最大值为1.6．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则x2＋1y2·1x2＋4y2的最小值为________．答案9解析x2＋1y21x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．例：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求xy的最小值．解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2x·3y，∴xy≥1225，当且仅当x＝3y时取等号．∴xy的最小值为1225.4．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．答案18解析由x0，y0,2x＋y＋6＝xy，得xy≥22xy＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，即(xy)2－22xy－6≥0，∴(xy－32)·(xy＋2)≥0.又∵xy0，∴xy≥32，即xy≥18.∴xy的最小值为18.例：已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.112解析依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2x＋12y＋1＝6，即x＋2y≥4.当且仅当x＋1＝2y＋1，x＋2y＋2xy＝8，即x＝2，y＝1时等号成立．∴x＋2y的最小值是4.3．若x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＋xy＝30.(1)求xy的取值范围；(2)求x＋y的取值范围．解：由x＋2y＋xy＝30，(2＋x)y＝30－x，则2＋x≠0，y＝30－x2＋x＞0,0＜x＜30.(1)xy＝－x2＋30xx＋2＝－x2－2x＋32x＋64－64x＋2＝－x－64x＋2＋32＝－x＋2＋64x＋2＋34≤18，当且仅当x＝6时取等号，因此xy的取值范围是(0,18]．(2)x＋y＝x＋30－x2＋x＝x＋32x＋2－1＝x＋2＋32x＋2－3≥82－3，当且仅当x＝42－2，y＝42－1时，等号成立，又x＋y＝x＋2＋32x＋2－3＜30，因此x＋y的取值范围是[82－3,30)．例：已知ab0，则a2＋16ba－b的最小值是________．解析：∵ab0，∴b(a－b)≤b＋a－b22＝a24，当且仅当a＝2b时等号成立．∴a2＋16ba－b≥a2＋16a24＝a2＋64a2≥2a2·64a2＝16，当且仅当a＝22时等号成立．∴当a＝22，b＝2时，a2＋16ba－b取得最小值16.8．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值是________．解析：由已知条件可得y＝x＋3z2，所以y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz＝14xz＋9zx＋6≥142xz×9zx＋6＝3，当且仅当x＝y＝3z时，y2xz取得最小值3.答案：3例：已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．解析：由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.1．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即x＋22xyx＋y≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即x＋22xyx＋y的最大值是2；又λ≥x＋22xyx＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.答案：21．已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：因为xa，所以2x＋2x－a＝2(x－a)＋2x－a＋2a≥22x－a·2x－a＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥32，即a的最小值为32.答案：325．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是()A.－∞，14B.0，14C.－14，0D.－∞，14答案A解析由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤a＋b22＝14(a＝b时取等号)．故ab的取值范围是－∞，14.典例：(12分)已知a、b均为正实数，且a＋b＝1，求y＝a＋1ab＋1b的最小值．易错分析