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****----2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1.已知集合Axx1，Bx31，则（）A．ABxx0B．ABRC．ABxx1D．AB【答案】Ax【解析】Axx1，Bx31xx0∴ABxx0，ABxx1，选A2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．14B．π8C．12D．π4【答案】B【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1则正方形的面积为224，圆的面积为2π1π，图中黑色部分的概率为π2π则此点取自黑色部分的概率为2π48故选B1****----3.设有下面四个命题（）1p：若复数z满足1zR，则zR；p：若复数z满足z2R，则zR；2p：若复数3z，z满足zzR，则1212zz；12p：若复数zR，则zR．4A．p1，p3B．p，pC．14p，pD．23p，p24【答案】B11abi【解析】p1:设zabi，则22zabiabR，得到b0，所以zR.故P正确；1p2:若z21，满足zR，而zi，不满足zR，故p2不正确；22p3:若z1，1z2，则z1z22，满足z1z2R，而它们实部不相等，不是共轭复2数，故p3不正确；p4:实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p正确；44.记Sn为等差数列an的前n项和，若a4a524，S648，则an的公差为（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】a4a5a13da14d2465S6ad48612联立求得2a7d2416a15d481①②①②得2115d2436d24∴d4选C5.函数fx在，单调递减，且为奇函数．若f11，则满足1≤fx2≤1的x的取值范围是（）A．2，2B．1，1C．0，4D．1，3【答案】D【解析】因为fx为奇函数，所以f1f11，于是1≤fx2≤1等价于f1≤fx2≤f1|又fx在，单调递减****----1≤x2≤11≤x≤3故选D2****----6.111x2x6展开式中2x的系数为A．15B．20C．30D．35【答案】C.【解析】116661+1x11x1x22xx对61x的2x项系数为265C1562对12x1x6的2x项系数为4C=15，6∴2x的系数为151530故选C7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面S梯24226S全梯6212故选Bnn8.右面程序框图是为了求出满足321000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入****----3****----A．A1000和nn1B．A1000和nn2C．A≤1000和nn1D．A≤1000和nn2【答案】D【答案】因为要求A大于1000时输出，且框图中在“否”时输出∴“”中不能输入A1000排除A、B又要求n为偶数，且n初始值为0，“”中n依次加2可保证其为偶故选D2π9.已知曲线C1:ycosx，2C:ysin2x，则下面结论正确的是（）3A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2π6B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线C212倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2π12【答案】D【解析】Cyx，2:sin21:cosCyx2π3首先曲线C、1C统一为一三角函数名，可将2C1:ycosx用诱导公式处理．πππycosxcosxsinx．横坐标变换需将1变成2，222****----4****----即1πC上各坐短它原ππ点横标缩来1ysinxysin2xsin2x22242ππysin2xsin2x．33π注意的系数，在右平移需将2提到括号外面，这时x平移至4πx，3根据“左加右减”原则，“πx”到“4πx”需加上3π，即再向左平移12π12．10.已知F为抛物线C：2yx的交点，过F作两条互相垂直l1，l2，直线l1与C交于A、4B两点，直线l2与C交于D，E两点，ABDE的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【答案】A【解析】设AB倾斜角为．作AK1垂直准线，AK2垂直x轴AFcosGFAK（几何关系）1易知AKAF1（抛物线特性）PPGPP22∴AFcosPAF同理PAF，1cosBFP1cos2P2P∴AB221cossin又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为π2DE2sin2P2P2πcos2而2yx，即P2．411ABDE2P∴22sincos422sincos22sincos422sincos1442sin2162sin2≥16，当π取等号4****----即ABDE最小值为16，故选A5****----11.设x，y，z为正数，且235xyz，则（）A．2x3y5zB．5z2x3yC．3y5z2xD．3y2x5z【答案】D【答案】取对数：xln2yln3ln5.xln33yln22∴2x3yxln2zln5则xzln55ln22∴2x5z∴3y2x5z，故选D12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，2，在接下来的三项式2，162，12，依次类推，求满足如下条件2的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．n1n设第n组的项数为n，则n组的项数和为2由题，N100，令n1n2100→n≥14且*nN，即N出现在第13组之后第n组的和为n1212n21n组总共的和为n21212nn22n若要使前N项和为2的整数幂，则n1nk应与2n互为相反N项的和212数即knkN，n≥*21214klogn32→n29，k5则N2912925440故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a，b的夹角为60，a2，b1，则a2b________．****----6****----【答案】23【解析】222a2b(a2b)a2a2bcos602b221222222244412∴a2b1223x2y114.设x，y满足约束条件2xy1xy0，则z3x2y的最小值为_______．【答案】5x2y12xy1不等式组表示的平面区域如图所示xy0yABx1Cx+2y-1=02x+y+1=0由z3x2y得3zyx，22求z的最小值，即求直线3zyx的纵截距的最大值22当直线3zyx过图中点A时，纵截距最大22由2xy1x2y1解得A点坐标为(1,1)，此时z3(1)21515.已知双曲线C:22xy22ab，（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若MAN60，则C的离心率为_______．23【答案】3【解析】如图，****----7****----OAa，ANAMb∵MAN60，∴3APb，222232OPOAPAab4∴tanAPOP32b322ab4又∵tanba，∴3b2223ab4ba，解得232ab∴e2b112a1233316.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D、E、F为元O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是一BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm）的最大值为_______．【答案】415【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，ODBC3OGBC，即OG的长度与BC的长度或成正比6设OGx，则BC23x，DG5x三棱锥的高hDG2OG22510xx2x2510x12S△233x33xABC2****----则12VSh3x2510x△ABC345=325x10x8****----令45fx25x10x，5x(0,)，234fx100x50x令fx0，即x42x30，x2则fx≤f280则V≤38045∴体积最大值为415cm3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为（1）求sinBsinC；2a3sinA．（2）若6cosBcosC1，a3，求△ABC的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）∵△ABC面积S2a3sinA.且1SbcsinA2∴21a3sinA2bcsinA∴232abcsinA2∵由正弦定理得232sinAsinBsinCsinA，2由sinA0得2sinBsinC.3（2）由（1）得2sinBsinC，3cosBcosC16∵ABCπ∴cosAcosπBCcosBCsinBsinCcosBcosC12又∵A0，π∴A60，sin3A，2cosA12由余弦定理得222abcbc9①a由正弦定理得bsinBsinAa，csinCsinA9****----∴2abc2sinBsinC8sinA②由①②得bc33∴abc333，即△ABC周长为33318.（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD中，且BAPCDP90．（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值．【解析】（1）证明：∵BAPCDP90∴PAAB，PDCD又∵AB∥CD，∴PDAB又∵PDPAP，PD、PA平面PAD∴AB平面PAD，又AB平面PAB∴平面PAB平面PAD（2）取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE∵ABCD∴四边形ABCD为平行四边形∴OEAB由（1）知，AB平面PAD∴OE平面PAD，又PO、AD平面PAD∴OEPO，OEAD又∵PAPD，∴POAD∴PO、OE、AD两两垂直∴以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz设PA2，∴D2，0，0、B2，2，0、P0，0，2、C2，2，0，∴PD2，0，2、PB2，2，2、BC22，0，0设nx,y,z为平面PBC的法向量nPB02x2y2z0由，得nBC022x0令y1，则z2，x0，可得平面PBC的一个法向量n0,1,2∵APD90，∴PDPA又知AB平面PAD，PD平面PAD∴PDAB，又PAABA∴PD平面PAB10****----即PD是平面PAB的一个法向量，PD2,0,2∴cosPD,nPDnPDn23233由图知二面角APBC为钝角，所以它的余弦值为3319.（12分）为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验