用------数量积第二课

3.1.3空间向量的数量积运算射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，简称或在上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影在点同方向的单位向量。作上与是，和轴＝已知向量OA=，OB=，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=||cos。||cos叫做向量在方向上的投影。aabbbbOA=，OB=，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=||cos。||cos叫做向量在方向上的投影。aabbbbOBAθB1OBAθB1ab为锐角时,正值cosb为锐角时,正值cosb为钝角时,负值cosb为钝角时,负值cosb投影投影与射影BAleA1B1(1)aeea|a|cos(2)abab0ab(4)cosab3平面向量数量积的性质22(3)|a|aaa4)空间向量的数量积满足的运算律注意：数量积不满足结合律即)()abcabc（另外¿abacbc及000¿abab或(1)abba（交换律）(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc（分配律）（数乘结合律）不一定为锐角不一定为钝角反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.POAla一面四线：垂线斜线射影面内线定理简记为：线影垂直Û线斜垂直4.如图，已知正方体，和相交于点，连结，求证：。ABCDABCDCDDCOAOAOCDOD'C'B'A'DABC3.已知空间四边形，求证：。,,OABCOBOCAOBAOCOABCOACB证明：∵()||||cos||||cos||||cos||||cos0OABCOAOCOBOAOCOAOBOAOCOAOBOAOBOAOBOABCOABCOBAC证明：由已知，ABCO0000OABC=,OBAC=OA(OCOB)=OB(OCOA)=所以OAOC=OAOBOBOC=OBOA所以000OAOCOBOC=(OAOB)OC=BAOC=所以OCAB所以2、已知在空间四边形中，，，求证：OABCOABCOBACOCAB2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是边的中点。求证：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC证明：因为MNMAADDN所以222()1110244ABMNABMAADDNABMAABADABDNaaaMNAB同理，MNCD已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．证明：练习44,3,5,90,60,.ABCDABCDABADAABADBAADAAAC【例2】如图，在平行六面体中，求的长D'C'B'DABCA'解：ACABADAA22222222||()||||||2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAABADABAAADAA85AC应用三，空间线段的长度1.已知线段、在平面内，，线段，如果，求、之间的距离.ABBDBDABAC,,ABaBDbACcCDcabCABD解：∵22222222||()||||||CDCAABBDCAABBDabc222CDabc例3如图，已知线段在平面内，线段，线段，线段，，如果，求、之间的距离。ACBDABDD30DBD,ABaACBDbCDAB解：由，可知.由知.ACACAB30DBD,120CABD22222222222||()||||||2222cos120CDCDCDCAABBDCAABBDCAABCABDABBDbabbab22CDabbabCABD'D6.如图，在空间四边形ABCD中，2AB，3BC，23BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆解：∵CDBDBC，∴ABCDABBDABBC||||cos,ABBDABBD||||cos,ABBCABBC223cos15023cos120633∴31cos,232||||ABCDABCDABCD，∴AB与CD的夹角的余弦值为12．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,150ABBD易错写成,30ABBD，注意推敲！1111112,()60()90()105()75ABCABCABBBABCBABCD【例3】如图，在正三棱柱中，若则与所成角的大小为A1C1B1ACB111111111,,,120,,180||2||()()ABCCBBCBABCBBBCCABBBABCBABBBCCCB解析：易知1ABCCABCB111BBCCBBCB22110||||02ABBB011ABCB证明：设11111CBaCDbCCc，，,则1112BCcaCOab，（）,例4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥面ODC1.abc112ODODcbac（）,若存在实数,xy,使得11BCxODyOC成立，则11112222caxbacyabxyaxybxc（）（）（）（）∵abc，，不同面，∴121211011xyxxyyx（）（）即∴11BCODOC，∵11BCODOC，，为共面向量,且111BCODOCODC不在，所确定的平面内∴1111////.BCODCBCODC平面，即平面