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【课题】3．1排列与组合（一）【教学目标】知识目标：理解排列的定义，掌握排列数的计算公式．能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高．【教学重点】排列数计算公式．【教学难点】排列数计算公式．【教学设计】复习两个计数原理，一方面它是复习回顾，另一方面是做好衔接，为下面的问题及排列数的计算奠定基础．一个排列元素是不可重复的．也就是说，利用排列研究问题时，元素是不可以重复选取．对于元素可以重复选取的问题是直接应用两个计数原理计算的问题．排列的概念中有两个要素．一个是不同的元素，另一个是一定的顺序．从n个不同元素中，取出m(m≤n)个不同元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的排列数，用符号Pmn表示.采用这个符号是执行国家的新规定．有些教材中使用符合Amn表示．例2是巩固排列数公式的题目．例3与例4是排列的实际应用题．其中例3是基础题，解题关键是搞清原来不同元素的个数、取出不同元素的个数、是否有序．例4是综合利用计数原理与排列知识的题目．讲解时要注意进行数学方法的渗透．首先考虑特殊元素或特殊位置，然后再考虑一般元素或位置，分步骤来研究问题，这种研究方法是本章中经常使用的方法．排列数的计算一般的数字都是比较大，比较麻烦，采用计算器来完成计算非常便捷．教材介绍了利用计算器计算排列数的方法．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题3．1排列与组合．介绍了解0教学过程教师行为学生行为教学意图时间*创设情境兴趣导入基础模块中，曾经学习了两个计数原理．大家知道：（1）如果完成一件事，有N类方式.第一类方式有k1种方法，第二类方式有k2种方法，……，第n类方式有kn种方法，那么完成这件事的方法共有N=1k+2k+…+nk（种）．（3.1）（2）如果完成一件事，需要分成N个步骤．完成第1个步骤有k1种方法，完成第2个步骤有k2种方法，……，完成第n个步骤有kn种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有N=1k·2k·…·nk（种）．（3.2）下面看一个问题：在北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数.首先确定机票的起点，从3个民航站中任意选取1个，有3种不同的方法；然后确定机票的终点，从剩余的2个民航站中任意选取1个，有2种不同的方法．根据分步计数原理，共有3×2=6种不同的方法，即需要准备6种不同的飞机票：北京→重庆，北京→上海，重庆→北京，重庆→上海，上海→北京，上海→重庆.播放课件质疑观看课件思考引导启发学生得出结果15*动脑思考探索新知我们将被取的对象（如上面问题中的民航站）叫做元素，上面的问题就是：从3个不同元素中，任取2个，按照一定的顺序排成一列，可以得到多少种不同的排列.一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，mn时叫做选排列，mn时叫做全排列.总结归纳分析关键词语思考理解记忆引导学生发现解决问题方法20*巩固知识典型例题例1写出从4个元素a,b,c,d中任取2个元素的所有排列．分析首先任取1个元素放在左边，然后在剩余的元素中任取1个元素放在右边．解所有排列为引领讲解说明观察思考注意观察学生是否教学过程教师行为学生行为教学意图时间,,,,,,,,,.,abacadbabcbdcacbcddadbdc．【说明】如果两个排列相同，那么不仅要求这两个排列的元素完全相同，而且排列的顺序也要完全相同．主动求解理解知识点25*动脑思考探索新知从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pmn表示.例1中，从4个元素a,b,c,d中任取2个元素的的排列数为24P．可以看到24P12．．下面研究计算排列数的公式．计算Pmn可以这样考虑：假定有排列顺序的m个空位（如图3－1）第1位第2位第3位…第m位图3－1第一步，从n个元素中任选1个元素，填到第1个位置，有n中方法；第二步，从剩余的n－1个元素中任选1个元素，填到第2个位置，有n－1种方法；第三步，从剩余的n－2个元素中任选1个元素，填到第3个位置，有n－3种方法；……第m步，从剩余的n－（m－1）个元素中任选1个元素，填到第m个位置，有n－m+1种方法；根据分步计数原理，全部填满空位的方法总数为n(n－1)(n－2)…(n－m+1)．由此得到，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的排列数Pmn为Pmn=n(n－1)(n－2)…(n－m+1)（3.１）其中，*mnN，，且m≤n．公式（3.3）叫做排列数公式．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解启发引导学生发现解决问题的方法教学过程教师行为学生行为教学意图时间当m=n时，由公式（3.3）得Pnn=n(n－1)(n－2)…3×2×1.（3.4）正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作n!.【说明】规定0!1即n!=n(n－1)(n－2)…3×2×1.因此公式（3.4）还可以写成Pnn=n!（3.5）一般地，P(1)(2)mnnnnnm(-+1)(1)(2)(1)21=()21nnnnmnm!)!nnm（因此，当m＜n时，公式（3.3）还可以写成!P)!mnnnm（（3.6）记忆40*巩固知识典型例题【例题】例2计算25P和44P解25P=5×4=20，44P4432124！．例3小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙3位同学，每人1本，共有多少种选法？分析选出3本不同的书，分别送给甲、乙、丙3位同学，书的不同排序，结果是不同的.因此选法的种数是从5个不同元素中取3个元素的排列数．解不同的送法的种数是37P765210．即共有210种不同送法．引领讲解说明引领分析观察思考主动求解观察思考注意观察学生是否理解知识点教学过程教师行为学生行为教学意图时间说明公式（3.3）与公式（3.6）都是计算排列数的公式.计算排列数，通常使用公式（3.3）；进行有关排列数的证明与研究通常使用公式（3.6）.例4用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的3位数？分析因为百位上的数字不能为0，所以分成两步考虑问题．第一步先排百位上的数字；第二步从剩余的数字中任取2个数排列．解所求三位数的个数为1299PP9(98)648．【说明】象例4这样，“首先考虑特殊元素或特殊位置，然后再考虑一般元素或位置，分步骤来研究问题”是本章中经常使用的方法．说明引领讲解说明理解思考主动求解学生自我发现归纳55*动脑思考探索新知【计算器使用】利用计算器，可以方便地求出任意一个正整数的阶乘.以计算4！为例，计算方法是：输入数字4，然后依次按键SHIFT、!x、=，显示24.即4！=24.利用计算器，可以方便地计算排列数.以计算36P为例，计算方法是：输入数字6，然后依次按键SHIFT、Prn，然后输入数字3，按键=，显示120.即36P=120.仔细分析讲解关键词语思考记忆启发引导学生发现解决问题的方法60*运用知识强化练习1.填空（1）已知2nP=56，那么n=.（2）用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，共有个.2.在A，B，C，D四个候选人中，选出正副班长各一个，选法的种数是多少？提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况65*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：排列数计算公式的内容是什么？结论：从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的排列数mnP为质疑归纳回答理解强化师生共同归纳强调重点70教学过程教师行为学生行为教学意图时间mnP=n(n－1)(n－2)…(n－m+1)强调*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有多少个？提问巡视指导反思动手求解培养反思学习过程的能力85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题3．1（必做）；学习指导3．1（选做）(3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】3．1排列与组合（二）【教学目标】知识目标：理解组合的定义，掌握组合数的计算公式．能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高．【教学重点】组合数计算公式．【教学难点】组合数计算公式．【教学设计】组合与排列的区别是，组合与顺序无关．因此判断是排列问题还是组合问题的关键是看元素是否有序．从n个不同元素中取m（m≤n）个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cmn表示．组合数的计算公式及组合数的性质中，教学重点是组合数计算公式和性质1．利用它们可以方便地计算组合数．例5是组合数计算问题．例6是组合的实际应用．与排列数的计算一样，教材介绍了利用计算器计算组合数．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题3．1排列与组合．*创设情境兴趣导入在北京、重庆、上海3个民航站的直达航线之间，有多少种不同的飞机票价（假设两地之间的往返票价和舱位票价是相同的）：飞机票的价格有如下三种：北京——重庆（重庆——北京）北京——上海（上海——北京）重庆——上海（上海——重庆）这个问题，是从3个不同的元素中任取2个，不管是怎样的顺序总认为是一组，求一共有多少个不同的组．一般地，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合．三地之间不同的飞机票价种数，就是从3个不同元素中，取出2个不同元素的所有组合的个数．【注意】：组合问题与排列问题的区别是：从n个不同元素取m（m≤n）个元素的一个组合，与m个元素排列的顺序无关，而从n个不同元素中取m（m≤n）个元素的一个排列，与m个元素的排列顺序有关．介绍播放课件质疑了解观看课件思考引导启发学生得出结果015*动脑思考探索新知一般地，从n个不同元素中取m（m≤n）个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cmn表示．下面我们通过研究计算34C的方法来研究组合数的计算公式．我们用两种不同的方法来计算34P．方法1：34P=4×3×2．方法2：从4个不同元素中取3个不同元素的一个排列，可以分两步完成．第一步，从4个不同元素中取3个元素组成一组，有34C种取法；第二步，对每一组中的3个不同元素进行全排列．教学过程教师行为学生行为教学意图时间根据分步计数原理，得3344PC3!，所以3344C3!P．类似地，可以得到组合数的计算公式．一般地，求从n个不同元素中取m（m≤n）个不同元素的组合数为P(1)(2)...(1)C3.7P!mmnnmmnnnnmm （）由于!P()!mnnnm，PCPmmmnnm，故组合数公式还可以写作!C3.8!()!mnnmnm （）其中*,nmN，并且m≤n．可以证明，组合数