a初中数学第一册(全册)知识点

1初一数学知识点总结一、实数1.实数的分类：实数（注：还有其它的分类方法）2.概念：实数：有理数和无理数统称为实数。实数与数轴上的点是一一对应的关系。有理数：整数和分数统称为有理数。无理数：无限不循环小数叫做无理数，如,3,2等。自然数：表示物体的个数0、1、2、3、4～（0包括在内）都称为自然数。正整数：＋1,＋2,＋3,……叫做正整数。负整数：－1,－2,－3,……叫做负整数。整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称为分数。奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。如-3,-1,1,5等。所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示,n为整数。偶数：能被2整除的整数叫做偶数。如-2,0,4,8等。所有的偶数都可用2n表示,n为整数。质数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,没有其他因数，这个数就称为质数,又称素数，如2,3,11,13等。2是最小的质数。合数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,还有其他因数,这个数就称为合数,如4,6,9,15等。4是最小的合数。一个合数至少有3个因数。互质数：如果两个正整数,除了1以外没有其他公因数,这两个整数称为互质数,如2和5,7和13等。二、有理数1.有理数：凡能写成形式的数,都是有理数。2.有理数的分类负无理数正无理数无理数0有理负分数正分数分数负分数正整数整数数)0,(pqppq为整数且2①按定义分类：②按符号分类：正数和0统称非负数；正整数和0统称非负整数。负数和0统称非正数；负整数和0统称非正整数。③整数和分数统称有理数;正整数、0、负整数统称整数;正分数和负分数统称分数。④0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;不是有理数。⑤有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性；自然数0和正整数;a＞0a是正数;a＜0a是负数;a≥0a是正数或0a是非负数;a≤0a是负数或0a是非正数.3.正、负数的意义：像5,1.2,12,…这样的大于0的数叫做正数,可以在正数前加“+”号,也可省略。在正数前面加上“-”号的数叫做负数。“0”既不是正数,也不是负数,0是正数与负数的分界,规定零是最小的自然数。例：+5,+1.2,12,…为正数；-10，-3，…为负数。4.负数的意义：在现实生活中，存在相反意义的量，以前学过的数不够用了，必须引进新的数。负数是由实际的需要而产生的，在同一个问题中,我们常常用正数和负数表示一些意义相反的量。如：某地气温是8℃，由于强冷空气南下，气温下降了12℃，则该地区这时的实际气温是(8－12)℃，但在算术中这个差是不存在的，实际上这个气温是客观存在的，为了解决这个“不够减”的矛盾，引入一个新数—负数，即(8－12)℃=－4℃，表示零下4℃．5.相反意义的量与正数：为了表示具有相反意义的量，把其中一种意义的量规定为正，另一种与它意义相反的量规定为负，正的量记为“＋”，如＋6，负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数3＋2.5，…叫正数；负的量记做“－”，像－4，－6这类带有负号的数叫负数。自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示．6.用字母a表示有理数时，字母“a”的意义：（1）a0时，a表示正数，－a表示负数；（2）a0时，a表示负数，－a表示正数.（3）a≥0时，a表示非负数.（4）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0，b=0；7.数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。所有的实数都可以用数轴上的点来表示，也可以用数轴来比较两个实数的大小。②数轴的作用：数轴能形象地表示数，数轴上的点和实数成一一对应，即任何一个有理数（或任何一个实数）都可以用数轴上的一个点表示。比大小：在数轴上表示的两个数,以0为中心,右边的数总比左边的数大。切记：数轴上的点不都表示有理数。这涉及实数完备性问题，有理数不是完备的，即任何两个有理数之间有间隙，而实数是完备的，任何两个实数之间的数还是实数。③数轴的注意事项：数轴是一种特定几何图形;原点、正方向、单位长度称数轴的三要素,这三者缺一不可(几何意义);同一根数轴,单位长度不能改变。在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点。单位长度则是指取适当的长度作为单位长度，比如可以取2m作为单位长度“1”，那么4m就表示2个单位长度。长度单位则是指米，厘米，毫米等表示长度的单位。二者不容混淆。8.数轴的画法一般地,设a是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点(0)的距离是a个单位长度;表示数－a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。从原点出发，朝正方向的射线（正半轴）上的点对应正数，相反方向的射线（负半轴）上的点对应负数，原点对应零。4画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这个点表示0，规定这条直线上从原点向右的方向（以箭头表示）为正方向，相反的方向（即从原点向左的方向）为负方向，选取某一长度作为单位长度，就得到了如图所示的数轴（numberaxis）。9.在数轴上表示的方法：将分数转化成有限小数后在，画在数轴上，理论上，任何一个实数都可以表示在数轴上，但是实际操作上，我们不能操作无限小数在数轴上，硬要表示，也只能标一个大概位置，不过有些无限小数可以通过作图画在数轴上，例如根号2，等等。例如：1/2就是在0、1的中点1/3就是在0、1的三等分点的前一个点上便捷一点的方法：将分数化成小数，然后再图上找对应位置如果是除不尽的，就找到一个大概位置，在数轴上的点，有时候并没办法画得很精确只要不影响答题，方便使用，就好了。6、计算时间：数轴，用数轴上的一段表示全球的经线，这条线段的两个端点表示180°经线，线段的中点表示0°经线，这样，全球所有地点的经度位置都可以表示在这条线段上。箭头方向代表地球自转方向，因此，从0°经线向东至180°经线是东经，最右边的时区是东十二区，时间最早；从0°经线向西至180°经线是西经，最左边的时区是西十二区，时间最迟，东、西十二区刚好相差24小时。在这条数轴上，越往右边，时间越早，其数值越大，这与数学上数轴的含义是一致的。因此，如果已知图1中乙地的时间，要求甲地的时间，甲地在乙地的右边，用加法，即甲地时间等于乙地时间加上甲、乙两地的时差；反之，要求乙地的时间，乙地在甲地的左边，用减法，可以记成“右加左减”，同时，由于数轴的方向代表地球自西向东的自转方向，从这个意义上来说，也可记成“东加西减”。这样，将加减法的选择和时间早晚与数轴的数学含义结合起来，就不易出错了。此外，用这条线段的两个端点来表示18和规范化工0°经线，可以避免跨越日界线，从而使计算简化。12.相反数⑴只有符号不同的两个数叫互为相反数（代数意义）,其中一个数叫另一个数的相反数。（a≠0）a的相反数是-a，0的相反数是0.5⑵在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧且与原点的距离相等（几何意义）。⑶数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。在任意一个数前面添上“－”号,就表示这个数的相反数。如数a的相反数是－a.⑷注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b。⑸相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.13.相反数的性质：若a与b互为相反数,则有a＋b=0反之也成立.14.多重符号的化简:化简带有多重符号的数的关键是结合数轴理解相反数,按由内到外的顺序去括号，如：－[－(－3)]=－(＋3)=－3.15.有理数比较大小①在数轴上表示有理数,按从左到右的顺序,即从小到大的顺序,即数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。②正数大于0,0大于负数,正数大于负数。③两个负数比较,绝对值大的反而小。④大数-小数＞0,小数-大数＜0.16.绝对值⑴在数轴上,一个数所对应的点离开原点的距离叫做该数的绝对值（几何意义）。也就是说,一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。离原点越远,数的绝对值越大。⑵一个正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.（代数意义）公式|a|=?若a大于0，则a的绝对值还等于a；若a等于0，则a的绝对值等于0；若a小于0，则a的绝对值等于-a。17.绝对值的性质：绝对值有非负性，绝对值只能为非负数。即|a|是重要的非负数,|a|≥0；|a|·|b|=|a·b|；01aaa01aaa6互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|－a|若ab，则0abb；若ab，则ab（或ba）。18.一个数的绝对值与这个数的关系（见下表）(0)0(0)(0)aaaaaa正数的绝对值是它本身；注意0的绝对值可以等于它本身，也可以等于它的相反数，因为0的相反数是0。0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数；19.绝对值的求法：在处理绝对值符号时，应首先确定绝对值里面的数的正、负性，若是非负数，则直接去掉绝对值符号；若是负数，则去掉绝对值符号后，前面加负号，即⑶绝对值可表示为：或20.利用数轴比较有理数的大小数轴是我们进初中以后学到的一个重要概念，我们知道有理数均可以用数轴上的点来表示，结合数轴，还可以更深刻地理解相反数的意义：从数轴上看，在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的两个数是互为相反数，其中包含着0的相反数是0的道理．一个数的绝对值的意义，更离不开“数轴”这个工具，我们知道在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，因为距离是正数或0，所以有理数的绝对值是非负数，即|a|≥0，利用数轴可以表示相反数和绝对值的几何意义．在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。21.有理数大小比较的法则：①正数都大于零,负数都小于零,正数大于一切负数;②两个正数,绝对值大的数大;③两个负数,绝对值大的数反而小.22.有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。7一个数同0相加，仍得这个数。相反数相加结果一定得0。23.有理数的减法法则：减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示：a-b=a+（-b）24.有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正；异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。几个数相乘,有一个因式为零,积为零。各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定。25.有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0,0没有倒数,0不能作除数。即a÷b＝a·(b≠0)26.数字与字母相乘的书写规范：①数字与字母相乘,乘号要省略,或用“·”。②数字与字母相乘,当系数是±1时,要省略不写。③带分数与字母相乘,带分数应当化成假分数。27.有理数加法运算要点：先确定和的符号；然后再求和的绝对值。同号相加不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选。28.在进行有理数加法运算时，要先利用交换律和结合律进行简化计算，一般应遵循几条法则：①同号的数放在一起相加；②互为相反数的两个数放在一起先加（抵消）；③和能凑成整数的数放在一起相加；④同分母的分数或易于通分的分数放在一起；⑤异分母分数相加,先通分,再计算。⑥用加法交换律交换数的位置时,数字必须与它前面的符号一起移动。29.有理数的减法运算要点：有理数的减法,不像算术里那样直接相减,而b1无意义即0a8是把它转化为加法,借助于加法进行计算。有理数减法变加法要遵循两变一不变原则：“两变”①改变运算符号,即减法变加法。②改变减数的性质符号,即减数变成它的相反数。“一不变”被减数不变,即被减数与减数的位置不能交换,也就是说,减法