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1习题详解第1章单项选择题（1-1—1-10题）1-1关于序列[]xn的自相关*[][][]xxkrnxkxkn∞=−∞=+∑，错误的是（D）（A）[0]xxrE=，E是序列的能量；（B）*[]xn−的自相关等于[]xn的自相关；（C）[]xnm−的自相关等于[]xn的自相关，m是任意整数；（D）[][]xxxxrnrn−=。解：（A）*[0][][0]xxkrxkxkE∞=−∞=+=∑（B）[]xk共轭翻褶再左移n得到*[()]xkn−+***[]'[][][()][']['][]xxnkkrnxkxnkxknxkrn∞∞−=−∞=−∞=−−+=+=∑∑（C）**[][]'[][()][()][']['][]xnmxnkkrnxkmxknmxkxknrn∞∞−=−∞=−∞=−+−=+=∑∑（D）***[][][][']['][]xxxxkkrnxkxnkxknxkrn∞∞=−∞=−∞−=−+=+=∑∑若[]xn是实序列则自相关偶对称1-2序列11[]5cos()63xnnππ=−的周期是（A）（A）12（B）11（C）12/11（D）6解：21211116ππ=，所以周期121-3下列系统因果且稳定的是（B）（A）{[]}2[]nTxnxn=（B）{[]}[][1]Txnxnun=−+（C）10{[]}log[]Txnxn=（D）55{[]}[]nknTxnxk+=−=∑1-4下列系统线性且时不变的是（B）（A）0{[]}[]nknTxnxk==∑（B）00{[]}[]nnknnTxnxk+=−=∑（C）[]{[]}0.5xnTxn=（D）{[]}[]Txnxn=−1-5有一系统输入为[]xn，输出为[]yn，满足关系[]([][2])[]ynxnunun=∗+，则系统是（A）（A）线性的（B）时不变的（C）因果的（D）稳定的解：2()12121212(){[][]}([][][])[]([][])[]([][])[]{[]}{[]}(){[1]}([1][])[][1]([1][])[1]var()[][][2]kATaxnbxnaxnbxnhnunaxnhnunbxnhnunaTxnbTxnlinearBTxnxnhnunynxnhnuntimeiantCynxnkuk=−+=+∗=∗+∗=+∴−=−∗≠−=−∗−∴−=−+2[][][]([2]...)[],()kunxnkunxnunnoncausalDunstable∞∞∞=−⎛⎞⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−=++∴−⎜⎟⎝⎠∑∑1-6LTI系统的单位脉冲响应如下，因果且稳定的是（C）（A）][2][nunhn=（B）]1[][−−=nuanhn（C）][)5.0cos(][10nRnnh=（D）[][2][2]hnunun=+−−1-7关于LTI系统，以下说法正确的是（C）（A）IIR不能实现；（B）IIR是非因果系统；（C）IIR不一定稳定；（D）IIR不如FIR好。1-8有一系统，其输入[]xn和输出[]yn按图T1-1所示方框图关联。其中[]hn是因果稳定的LTI系统的单位脉冲响应。则整个系统不是（B）(A)线性的(B)时不变的(C)稳定的(D)因果的0jneω图T1-1解：()()00000012121200()00[][][]{[][]}[][][]{[]}{[]},{[][][][][][],var[],([]),[jnjnjnjnnjnynxnehnTaxnbxnaxnbxnehnaTxnbTxnlinearTxnnxnnehnynnxnnehntimeiantifxnfinitethenxnefinitethenyωωωωω−=∗+=+∗=+∴−=−∗≠−=−∗∴−()00(1)],[][][0][1][1]...,jnjnnfinitestableynxnehxnehcausalωω−∴=+−+∴1-9设LTI系统的单位脉冲响应[]hn和输入序列[]xn如图T1-2所示，则输出样本正确的是（D）-2-101x[n]2-1h[n]1210.5012图T1-23（A）[2]1y−=（B）[1]2y−=−（C）[0]3y=（D）[1]5.5y=解：[2][2][0]2yxh−=−=[1][1][0][2][1]1yxhxh−=−+−=−[0][0][0][1][1][2][2]3.5yxhxhxh=+−+−=[1][1][0][0][1][1][2][2][3]5.5yxhxhxhxh=++−+−=1-10关于LTI系统的实现，以下说法错误的是（C）（A）FIR可以采用卷积和实现；（B）FIR可以采用有递归的差分方程实现；（C）IIR可以采用卷积和实现；（D）IIR可以采用有递归的差分方程实现。填空题（1-11—1-15题）1-11用[]nδ的移位加权和表示图T1-3所示序列[]xn=[]2[1][2]nnnδδδ−+−+−。x[n]图T1-31-12设[][][]ynxnhn=∗，则[]2[3]xnhn−∗−=[]5yn−（用[]yn表示）。1-13有限长序列[]xn的非零区间是09n≤≤和3039n≤≤，[]yn的非零区间是1019n≤≤，则[][][]nxnynω=∗的非零区间是1028n≤≤和4058n≤≤。1-14已知回声系统的输入输出关系][][][0nnxanxny−⋅+=，系统的单位脉冲响应[]hn=0[][]nannδδ+−，单位阶跃响应[]sn=0[][]unaunn+−。1-15线性常系数差分方程为1[][1][2][]4ynynynxn−−+−=，设输入是[][]xnnδ=，初始条件是[]0yn=，0n，则[3]y=0.5。解：[0][1]0.25[2][0]1yyyx=−−−+=[1][0]0.25[1][1]1yyyx=−−+=[2][1]0.25[0][2]0.75yyyx=−+=[3][2]0.25[1][3]0.5yyyx=−+=计算、证明与作图题（1-16—1-31题）1-16画出下列序列(a)[][2]2[][3]4[4]xnnnnnδδδδ=−++−−+−(b)5[][2][3]xnRnnδ=−+−(c)[](0.5)[]nxnun=−(d)[][2]xnun=−+解：1-17证明卷积的交换律、结合律和分配律。证明：（a）'[]*[][][][']['][]*[]kkxnhnxkhnkxnkhkhnxn=−=−=∑∑(b)412121212[]*([][])[]([][])[][][][][]*[][]*[]kkkxnhnhnxnkhkhkxnkhkxnkhkxnhnxnhn+=−+=−+−=+∑∑∑(c)1212122121'2112'([]*[])*[][][]*[][][][][][][][][(')]['][][()')]['][]*([]*[])kmkkmkmkmxnhnhnxkhnkhnxkhmkhnmxkhnmhmkxkhnmkhmxkhnkmhmxnhnhn⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎛⎞=−−=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−−=⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑∑∑∑∑∑1-18已知[][][]ynxnhn=∗，证明（a）[][][]nnnynxnhn∞∞∞=−∞=−∞=−∞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑（b）()()()1[]1[]1[]nnnnnnynxnhn∞∞∞=−∞=−∞=−∞⎛⎞⎛⎞−=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑解：（a）'[][][][][][][']nnkknknynxkhnkxkhnkxkhn∞∞∞∞∞∞∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−=−=∑∑∑∑∑∑∑（b）''(1)[](1)[][][](1)[][](1)['][](1)(1)[]nnnnnkknnkknknknynxkhnkxkhnkxkhnxkhn∞∞∞∞∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞∞∞∞∞+=−∞=−∞=−∞=−∞−=−−=−−=−=−−∑∑∑∑∑∑∑∑∑1-19求图T1-4中两个序列的卷积[]yn。x[n]-2图T1-4解：[]2[]4[1][2][3]2[4]3[6][7]ynnnnnnnnδδδδδδδ=−+−−−−−−−+−+−1-20设4[][]xnRn=，画出其偶对称分量[]exn和奇对称分量[]oxn。51-21证明：当输入全为零时，线性系统的输出也应该全为零。证明：设输入0][1=nx，因为线性，所以12212{[][]}{[]}{[]}{[]}TaxnbxnTbxnaTxnbTxn+==+所以1{[]}0Txn=1-22对于下列系统，试判断系统的因果性、稳定性、线性和时不变性。（a）{[]}[][],[]Txnhnxnhn=+有界（b）2{[]}[]Txnxn=（c）0{[]}[]kTxnxnk=∞=−∑（d）2{[]}[]Txnxn=（e）0{[]}[]Txnxnn=+（f）|[]|{[]}xnTxne=解：（a）因果，稳定，非线性，时变；（b）因果，稳定，非线性，时不变（c）因果，不稳定，线性，时不变；（d）非因果，稳定，线性，时变（e）稳定，线性，时不变，若00n≤则因果，否则非因果（f）因果，稳定，非线性，时不变1-23已知LTI系统的单位脉冲响应如下，指出系统的因果性和稳定性。（a）[][1]nhnaun=+（b）[]2[1]nhnun=−−（c）[](1/2)nhn=（d）[](1/3)[]3[1]nnhnunun=+−−（e）[]0.7cos(0.5)[]nhnnunπ=（F）[]2[5][][5]hnununun=+−−−解：（a）非因果，||1a|则稳定，否则不稳定；（b）非因果，稳定（c）非因果，稳定；（d）非因果，稳定（e）因果，稳定；（f）非因果，稳定1-24证明图T1-5中虚线框内的系统是LTI系统，其中[]hn是一个LTI系统的单位脉冲响应。h[n]6图T1-5证明：()()()[][](1)*[](1)[][][][][]*([](1))nnjkjnkjnknkynxnhnxkehnkexkehnkxnhnπππ−−=−−=−=−=−∑∑1-25证明：对一个LTI系统，如果输入序列是以N为周期的周期序列，则输出序列也是以N为周期的周期序列。证明：∑∑∞−∞=∞−∞==−=−+=+kknyknxkhkNnxkhNny][][][][][][1-26对于LTI系统，（a）用单位阶跃响应[]sn表示单位脉冲响应[]hn；（b）已知单位脉冲响应为[][],1nhnauna=−，求系统的单位阶跃响应；（c）证明：如果系统稳定，则单位阶跃响应有界。解：（a）[][]*[]([][1])*[][][1]hnnhnununhnsnsnδ==−−=−−（b）图解法或解析法10111[][][]0,[]110,[]1,01[]1,01kknnkkkknsnaukunkansnaansnaaanasnna−∞=−∞−=−∞−=−∞−−=−−≤==−≥==−⎧≤⎪⎪−∴=⎨⎪≥⎪−⎩∑∑∑（c）,|[]|,[][][][][][]|[]|nnkknstablehnsnhnunhkunkhkhn∞∞∞=−∞=−∞=−∞=−∞∴∞∴=∗=−=≤∞∑∑∑∑∵1-27一个系统的差分方程是11[][1][]23ynynxn−−=，输入信号是[][]xnnδ=，初始条件是[1]1y−=，求输出信号[]yn。解：711110,[][1][]231155551[0],[1],[2],[]23612246220,[1]2[][]31[2]2;[3]4,[4]8,[]251,0621111[]22321,02nnnnnnynynxnyyyynnynynxnyyyynnynn++≥=−+⎛⎞=+====⎜⎟⎝⎠−=−⎛⎞−=−=−==⎜⎟⎝⎠⎧⎛⎞≥⎪⎜⎟⎪⎝⎠⎛⎞⎛∴==+⎨⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎛⎞⎪⎜⎟⎪⎝⎠⎩……[]nun⎞⎟⎠*1-28考虑下面3个序列[][][][][][][]14213xnununhnnnnδδδ=−−−=+−−−[][][]ynxnhn=∗（a）求序列[]yn