60新东方在线考研数学基础班-概率与统计讲义--★【汉魅huntmine―高校学习考研资料分享】

新东方在线考研数学基础班电子版教材——概率与树理统计-1-第一章随机事件和概率第一节基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!nmmPnm从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。)!(!!nmnmCnm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。例1．1：方程xxxCCC76510711的解是A．4B．3C．2D．1例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨新东方在线考研数学基础班电子版教材——概率与树理统计-2-例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？②重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？③对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？④顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：（1）每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（2）任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示，例如n,,21（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。如果某个是事件A的组成部分，即这个在事件A中出现，记为A。如果在一次试验中所出现的有A，则称在这次试验中事件A发生。如果不是事件A的组成部分，就记为A。在一次试验中，所出现的有A，新东方在线考研数学基础班电子版教材——概率与树理统计-3-则称此次试验A没有发生。为必然事件，Ø为不可能事件。（2）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。②运算：结合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：11iiiiAABABA，BABA例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间。若表示取到的两只球是白色的事件，表示取到的两只球是红色的事件，试用、表示下列事件：（1）两只球是颜色相同的事件C，（2）两只球是颜色不同的事件D，（3）两只球中至少有一只白球的事件E。例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C，（2）至少有一次正面朝上的事件D，（3）前两次正面朝上的事件E。3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°对于两两互不相容的事件1A，2A，…有新东方在线考研数学基础班电子版教材——概率与树理统计-4-11)(iiiiAPAP常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件A的概率。（2）古典概型（等可能概型）1°n21,，2°nPPPn1)()()(21。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有P(A)=)()()(21m=)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是A．141B．131C．121D．111例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序）例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序）例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序）注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：A＝“三个数字中不含0或者不含5”。（2）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B)=1-P(B)例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P(A+B).例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B，以下等式中只有一个不正确，它是：新东方在线考研数学基础班电子版教材——概率与树理统计-5-(A)P(A-B)=P(A)(B)P(A-B)=P(A)+P(A∪B)-1(C)P(A-B)=P(A)-P(B)(D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A)(E)p[BA]=P(A)-P(A∪B)（3）条件概率和乘法公式定义设A、B是两个事件，且P(A)0，则称)()(APABP为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)0，则有21(AAP…)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP……21|(AAAPn…)1nA。例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。（4）全概公式设事件nBBB,,,21满足1°nBBB,,,21两两互不相容，),,2,1(0)(niBPi，2°niiBA1，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。此公式即为全概率公式。例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：A．0.5625B．0.5C．0.45D．0.375E．0.225例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？（5）贝叶斯公式新东方在线考研数学基础班电子版教材——概率与树理统计-6-设事件1B，2B，…，nB及A满足1°1B，2B，…，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，…，n，2°niiBA1，0)(AP，则njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1i，2，…，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1i，2，…，n），通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果”，而1B，2B，…，nB理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。例1．32：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C表示被检验者的确患有肝癌的事件，A表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知95.0)/(CAP，98.0)/(CAP，004.0)(CP。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率)|(ACP。5、事件的独立性和伯努利试验（1）两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。（证明）由定义，我们可知必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。（证明）同时，Ø与任何事件都互斥。（2）多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。两两互斥→互相互斥。两两独立→互相独立？例1．33：已知)/()/(ABPABP，证明事件A、B相互独立。例1．34：A，B，C相互独立的充分条件：（1）A，