B 函数与导数(理科)(高考真题+模拟新题)

B函数与导数B1函数及其表示14．B1[2012·天津卷]已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．14．(0,1)∪(1,4)[解析]本题考查函数的表示及图象应用，考查应用意识，偏难．y＝|x2－1|x－1＝－x＋1，－1≤x1，x＋1，x－1或x1，在同一坐标系内画出y＝kx－2与y＝|x2－1|x－1的图象如图，结合图象当直线y＝kx－2斜率从0增到1时，与y＝|x2－1|x－1在x轴下方的图象有两公共点；当斜率从1增到4时，与y＝|x2－1|x－1的图象在x轴上下方各有一个公共点．5．B1[2012·江苏卷]函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．5．(0，6][解析]本题考查函数定义域的求解．解题突破口为寻找使函数解析式有意义的限制条件．由x0，1－2log6x≥0，解得0x≤6.2．B1[2012·安徽卷]下列函数中，不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x2．C[解析]本题考查函数的新定义，复合函数的性质.(解法一)因为f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足f(2x)＝2f(x)，所以A，B，D满足条件；对于C项，若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1≠2f(x)＝2x＋2.(解法二)对于A项，f(2x)＝2|x|,2f(x)＝2|x|，可得f(2x)＝2f(x)；对于B项，f(2x)＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，可得f(2x)＝2f(x)；对于C项，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，可得f(2x)≠2f(x)；对于D项，f(2x)＝－2x,2f(x)＝－2x，可得f(2x)＝2f(x)，故选C项．2．B1[2012·江西卷]下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD．y＝sinxx2．D[解析]考查函数的定义域、解不等式等；解题的突破口为列出函数解析式所满足的条件，再通过解不等式达到目的．函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}．y＝1sinx的定义域为{x|x≠kπ}，y＝lnxx的定义域为{x|x0}，y＝xex的定义域为R，y＝sinxx的定义域为{x|x≠0}，故选D.3．B1[2012·江西卷]若函数f(x)＝x2＋1，x≤1，lgx，x1，则f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．03．B[解析]考查分段函数的定义、对数的运算、分类讨论思想；解题的突破口是根据自变量取值范围选择相应的解析式解决问题．∵101，∴f(10)＝lg10＝1≤1，∴f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2，故选B.B2反函数B3函数的单调性与最值7．B3[2012·上海卷]已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．7．(－∞，1][解析]考查复合函数的单调性，实为求参数a的取值范围．令t＝||x－a，又e1，函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，只需函数t＝||x－a在[1，＋∞)上是增函数，所以参数a的取值范围是(－∞，1]．11．B3、B4、B9[2012·辽宁卷]设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－12，32上的零点个数为()A．5B．6C．7D．811．B[解析]本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断．解题的突破口为根据函数的性质得到函数f(x)的解析式，结合函数图象求解．f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(2－x)＝f(x－2)，所以函数f(x)为周期为2的周期函数，且f(0)＝0，f(1)＝1，而g(x)＝||xcos()πx为偶函数，且g(0)＝g12＝g－12＝g32＝0，在同一坐标系下作出两函数在－12，32上的图像，发现在－12，32内图像共有6个公共点，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－12，32上的零点个数为6.3．A2、B3[2012·山东卷]设a0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．A[解析]本题考查充分必要条件及函数的单调性，考查推理论证能力，容易题．当f()x＝ax为R上的减函数时，0a1,2－a0，此时g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数成立；当g(x)＝(2－a)x3为增函数时，2－a0即a2，但1a2时，f()x＝ax为R上的减函数不成立，故选A.8．B3、B10[2012·北京卷]某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为()图1－6A．5B．7C．9D．118．C[解析]本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n的增大，Sn在增大，要使Snn取得最大值，只要让随着n的增大Sn＋1－Sn的值超过Sn＋1－S1n(平均变化)的加入即可，Sn＋1－Sn的值不超过Sn＋1－S1n(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设Smm是Snn取的最大值，所以只要SmmSm＋1m＋1即可，也就是Sm－0m－0Sm＋1－0m＋1－0，即可以看作点Qm(m，Sm)与O(0,0)连线的斜率大于点Qm＋1(m＋1，Sm＋1)与O(0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q9(9，S9)与O(0,0)连线的斜率开始大于点Q10(10，S10)与O(0,0)连线的斜率．答案为C.14．A2、A3、B3、E3[2012·北京卷]已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)0或g(x)0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)0.则m的取值范围是________．14．(－4，－2)[解析]本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能．满足条件①时，由g(x)＝2x－20，可得x1，要使∀x∈R，f(x)0或g(x)0，必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)0恒成立，当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m0，要满足条件，必须使方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，即2m1，－m－31，可得m∈(－4,0)．满足条件②时，因为x∈(－∞，－4)时，g(x)0，所以要使∃x∈(－∞，－4)时，f(x)g(x)0，只要∃x0∈(－∞，－4)时，使f(x0)0即可，只要使－4比2m，－m－3中较小的一个大即可，当m∈(－1,0)时，2m－m－3，只要－4－m－3，解得m1与m∈(－1,0)的交集为空集；当m＝－1时，两根为－2；－2－4，不符合；当m∈(－4，－1)时，2m－m－3，所以只要－42m，所以m∈(－4，－2)．综上可知m∈(－4，－2)．20．B3、D4、M4[2012·北京卷]设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S(m，n)为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S(m，n)，记ri(A)为A的第i行各数之和(1≤i≤m)，cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n)；记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，…，|rm(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，…，|cn(A)|中的最小值．(1)对如下数表A，求k(A)的值；11－0.80.1－0.3－1(2)设数表A∈S(2,3)形如11cab－1求k(A)的最大值；(3)给定正整数t，对于所有的A∈S(2,2t＋1)，求k(A)的最大值．20．解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8，所以k(A)＝0.7.(2)不妨设a≤b.由题意得c＝－1－a－b.又因c≥－1，所以a＋b≤0，于是a≤0.r1(A)＝2＋c≥1，r2(A)＝－r1(A)≤－1，c1(A)＝1＋a，c2(A)＝1＋b，c3(A)＝－(1＋a)－(1＋b)≤－(1＋a)．所以k(A)＝1＋a≤1.当a＝b＝0且c＝－1时，k(A)取得最大值1.(3)对于给定的正整数t，任给数表A∈S(2,2t＋1)如下：a1a2…a2t＋1b1b2…b2t＋1任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*∈S(2,2t＋1)，并且k(A)＝k(A*)．因此，不妨设r1(A)≥0，且cj(A)≥0(j＝1,2，…，t＋1)．由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤cj(A)(j＝1,2，…，t＋1)．又因为c1(A)＋c2(A)＋…＋c2t＋1(A)＝0，所以(t＋2)k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＋…＋ct＋1(A)＝r1(A)－ct＋2(A)－…－c2t＋1(A)＝j＝1t＋1aj－j＝t＋22t＋1bj≤(t＋1)－t×(－1)＝2t＋1.所以k(A)≤2t＋1t＋2.对数表A0：第1列第2列…第t＋1列第t＋2列…第2t＋1列11…1－1＋t－1tt＋2…－1＋t－1tt＋2t－1t＋2t－1t＋2…t－1t＋2－1…－1则A0∈S(2,2t＋1)，且k(A0)＝2t＋1t＋2.综上，对于所有的A∈S(2,2t＋1)，k(A)的最大值为2t＋1t＋2.2．B3、B4[2012·陕西卷]下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝1xD．y＝x|x|2．D[解析]本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D，我们也可利用x0、x＝0、x0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求．12．B3、D2[2012·四川卷]设函数f(x)＝2x－cosx，{an}是公差为π8的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝()A．0B.116π2C.18π2D.1316π212．D[解析]设a3＝α，则a1＝α－π4，a2＝α－π8，a4＝α＋π8，a5＝α＋π4，由f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，得2×5α－cosα－π4＋cosα－π8＋cosα＋cosα＋π8＋cosα＋π4＝5π，即10α－(2＋2＋2＋1)cosα＝5π.当0≤α≤π时，左边是α的增函数，且α＝π2满足等式；当α＞π时，10α＞10π，而(2＋2＋2＋1)cosα＜5cosα≤5，等式不可能成立；当α＜0时，10α＜0，而－(2＋2＋2＋1)cosα＜5，等式也不可能成立．故a3＝α＝π2.[f(a3)]2－a1a5＝π2－α－π4α＋π4＝1316π2.B4函数的奇偶性与周期性9．B4[2012·上海卷]已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝_______