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1《点集拓扑》课程标准英文名称：Settopoligy课程编号：407021010适用专业：数学与应用数学学分数：3一、课程性质《点集拓扑》课程属于数学一级学科下的基础数学二级学科，是数学与应用数学专业的培养方案中学科专业教育平台下专业基础课程系列的一门必修课程。二、课程理念1、培育抽象思维概括能力，提高数学文化素养《点集拓扑》采用了极为有力的表述形式及高度抽象的观点、方法，使他的理论显得十分简捷而具有高度的概括力。以致它的理论广泛地应用到现代数学的各个分支。《点集拓扑》不仅在泛函分析、抽象代数、李群论、微分几何、微分方程等其他许多数学分支中有着广泛的应用，而且在自然科学和其它工程技术领域的许多学科诸如电路网络、理论物理、计算机、电子通讯、现代控制理论乃至原子核构造理论等学科都具有广泛的应用，已成为现代数学及现代技术领域中不可替代的基础工具之一，是非数学类众多领域的研究生必修的数学基础课程。2、增强空间意识，培养扎实的空间状态认识能力《点集拓扑》是数学与应用数学专业人才整体知识结构及能力培养的重要组成部分，在数学与应用数学专业人才的培养方案中占据独特的重要地位，它是现代数学的基础。本课程面对的是数学与应用数学专业本科四年级的学生，在大学前三年级期间，学生们已经对《数学分析》、《高等代数》以及《空间解析几何》等数学与应用数学专业的基础课程有了系统的学习，为进一步进入《点集拓扑》课程的学习打下了坚实的基础。通过本课程的学习，使学生理解并掌握点集拓扑和基本方法，能够运用所学的方法对自然界中客观存在的空间形式进行研究、对空间状态进行分析以指导实践。3、展示点集拓扑的应用，为进一步研究现代数学培养扎实的基础《点集拓扑》是一门相对独立的学科，它与其它学科的联系并不是十分紧密，拓扑学的内容虽然涉及集合论、数理逻辑、度量空间、数学分析等学科，它的一些概念和方法是度量空间、连续函数等概念的推广，但其研究内容和方法已发生了根本的变化，因此具备了集合论、数理逻辑、度量空间、连续函数的基本知识，对拓扑学的学习和理解会起到一定的作用，《点集拓扑》课程需要集合论的基本知识，也是学习拓扑学的必要的基础知识，我们放在了第一章，若熟悉本章知识的内容可直接进行第二章的学习，《点集拓扑》课程的后续课程有代数拓扑学，格上拓扑学等。4、教学采用传统的“传授式、示范式”学习其形式是课堂讲授为主，这是课堂教学中的传统方式，它体现出启发式教学原则。课堂教学的特点要讲出点集拓扑的背景、思想与方法、解决点集拓扑问题的思路、关键点以及相关课程内容各部分之间的逻辑关系等。通过例题进行“示范式”教学方法，其形式表现为习题课教学。这是指教师通过典型问题给学生以示范，让学生在对典型问题的认识、分析和思考的过程中进行学习的一种教学方法。它可以在课堂上实现师生互动，通过师生提问、回答问题，不仅可使得老师了解学生的学习情况，而且它还能有效地调动学生的学习积极性，促进学生的认真思考，激发学生的内在潜能，以达到培养学生的自主学习意识，以及运用点集拓扑的方法和知识解决实际问题的能力。可以说，这是数学教育中富有启发性的教学方法。运用现代教育技术手段构建点集拓扑学习课件进行辅助教学，并根据本课程各部分不同要求，对一些重要的点集拓扑概念和几何图形运用多媒体技术手段建立点集拓扑演示课件，通过动态演示形象地揭示点集拓扑概念的内涵，以及清晰地展现拓扑空间的构造和特点，它可以取得传统式课堂教学难以达到的效果。5、考核应能促进学生数学科学素养的发展通过本课程的学习，帮助学生打造好数学与应用数学的基础，提升他们的学习能力、应用能力与数学素质，因为数学素质是当代大学生可持续发展所应具备的基本素质，也是未来劳动者必需具备的核心2能力之一。良好的数学基础将会伴随并影响其一生的学习能力，本课程的教学就是要追求并达到这一目标。因此，本课程的考核不仅注重对学生学习结果的评价也强调对学习过程的评价，考核应能促进学生数学科学素养的形成与发展。考核指标应是多元的，主要包括两部分内容，既要考核学生掌握课堂重要内容、知识点以及利用所学知识分析问题、解决问题的能力；还要结合重点教学内容布置课外阅读文献和大作业，让学生自己查阅整理文献、分析讨论相关问题，锻炼小型综述论文的撰写能力，以此调动学生主动参与的积极性，发挥学生学习的自主性。二、课程目标1、总目标《点集拓扑》课程是数学与应用数学专业本科学生的一门专业基础课。本课程基本任务是学习拓扑空间和连续映射的定义及其基本性质；构造新的拓扑空间的方法；研究各种拓扑不变性质，如连通性、分离性、紧致性、度量空间的完备性等，以及这些拓扑不变性质之间的相互关联；这些拓扑不变性质的可积、可遗传等性质；映射空间及其各种基本的拓扑。使学生能熟练掌握这些基本概念和方法，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力及分析问题解决问题的能力，从而为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。2、分目标序号内容单元知识目标能力目标文化素质目标01集合论掌握集合论的一些基本知识、集合运算关系、映射以及集合的基数等方面的知识，选择公理只要求了解。培养学生运用集合论的抽象思维能力分析问题和解决问题的方法，为后续学习打下必要的基础理解集合论是数学的基础，在实际应用中，会用集合阐述应用模型。同时，了解点集拓扑的发展史。02拓扑空间与连续性掌握度量空间与连续映射、拓扑空间与连续映射之间的关系，进一步理解集合有关的概念和一些性质、拓扑空间的性质。在掌握拓扑学基本知识的基础上，掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性和高度的概括性，力求活跃其数学思想，从而培养学生运用较高层次的数学观点和数学知识，能对实际问题进行分析、归纳、提炼和解决，提高他们的数学素养即开展科研工作的能力。感受到拓扑空间的形态，通过连续映射概念，体会空间的变化，具备处理空间变化的基本理论和方法03子空间、积空间、商空间理解子空间、(有限)积空间及商空间的概念，准确把握它们的联系。商空间应用举例，能够通过已知的拓扑空间，按某种“自然的方式”构造出新的拓扑空间生活中的子空间、积空间、商空间应用举例04连通性准确理解连通空间、连通分支、局部连通空间、道路连通的含义及它们的应用，正确区分它们的差别。具备应用点集拓扑的观点、思想和理论方法，并能从较高的观点考虑和解决问题，同时也为学习现代数学从较高观点去观察、分析中学数学的内容，加深对这些内容的认识和理解。特别是目前点集拓扑的3打下基础。通俗内容已出现在中学的课外读物之中，某些拓扑概念将来可能进入中学课程中，所以未来的中学教师应当具有这方面的基本知识。四、课程内容根据教材特点，《点集拓扑》课程内容划分为四个单元，每单元根据章节内容进一步划分为基础性内容、提高性内容、拓展性内容三部分，基础性内容为教师讲授中的基本知识点同时也是学生必须掌握的内容。提高性内容是在基础性内容的基础上对基本问题的探讨和梳理，拓展性内容是对所学知识的延伸性学习，是课程内容的理论延展和文化素质培养。内容单元基础性内容提高性内容拓展性内容文化素质拓展第一单元集合论集合论的一些基本知识、集合运算关系、映射以及集合的基数、选择公理等方面的知识。点集拓扑发展史。培养学生的逻辑思维和抽象思维能力及分析问题解决问题的能力，为后续学习打下必要的基础。第二单元拓扑空间与连续性度量空间与连续映射、拓扑空间与连续映射之间的关系，进一步理解拓扑空间有关的概念和性质。拓扑空间中的序列与数学分析中序列的差别。感受到拓扑空间的形态，通过连续映射概念，体会空间的变化，具备处理空间变化的基本理论和方法。第三单元子空间、积空间、商空间子空间、(有限)积空间及商空间的概念，准确把握它们的联系。商空间应用举例。生活中的子空间、积空间、商空间应用举例。第四单元连通性连通空间、连通分支、局部连通空间、道路连通的含义及它们的应用，正确区分它们的差别。有关可数性的公理。能够掌握拓扑空间的拓扑不变性质的简单应用。五、课程实施1、学时安排本课程总共55学时，理论教学47学时、习题训练教学8学时。并根据教学要求每章至少安排一次习题课，以学生讨论、教师答疑、学生讲解习题等方式为主。为了使教学效果能够达到比较理想的水平，每周安排1-2学时的学习辅导，让学生进行一定的课外学习，阅读与教学内容相关的学术著作与文章。教师的实践性教学内容安排有作业（包括小论文、小测验等形式）、上课讨论交流、布置课后阅读书目等。内容单元章次学时分配总学时理论知识习题训练第一单元集合论第1章10100第二单元拓扑空间与连续性第2章221844第三单元子空间、积空间、商空间第3章1082第四单元连通性第4章1192总复习220合计554782、教学建议（1）教学组织与形式本课程以课堂讲授为主，为达到《点集拓扑》课程的总目标，建议课程采取理论教学与联系实际应用相结合的教学形式进行组织教学。（2）教学方法与手段采用“传授式、示范式”教学方法，讲授注重培养逻辑思维和抽象思维能力，及分析问题解决问题的能力，在讲授中，插入提问、讨论和学生报告等多种形式，活跃课堂气氛和学生思维，调动学生的学习自觉性和积极性，使学生掌握学习的主动权。教学手段上，着重以板书讲解，运用现代教育技术手段构建点集拓扑学习课件进行辅助教学，并根据本课程各部分不同要求，对一些重要的点集拓扑概念和几何图形运用多媒体技术手段建立点集拓扑演示课件，通过动态演示形象地揭示点集拓扑概念的内涵，以及清晰地展现拓扑空间的构造和特点，它可以取得传统式课堂教学难以达到的效果。尽可能全程录像，供网上学习。开设“点集拓扑”课程网站，提供PPT教案、教学录像以及其他学习的教学资料，实现网络教学和资源共享。（3）教学环境与策略①教学环境理论教学环境，采用板书为主并结合课堂讲授的内容，提供课外扩展学习的科研文献资料。提供网络教学环境，建设课程网站，提供文字、视频、PPT等补充资料，供课外扩展学习。②教学策略教学过程一定要根据学生的具体情况、教学的内容、教学的条件综合考虑进行。每节课的教学策略都应不同，因此，总的建议是充分利用学生已经掌握的前置课程的知识和技能，结合多种方式（讲授、自学、讨论等）组织教学。（4）能力培养方案及相应说明①采用“传授式、示范式”教学方法，提高学生的素质将思考题穿插在具体章节中，让学生带着问题去阅读教材、预习课程内容，引导学生积极思考。课堂上，在讲授课程内容的同时，精选代表性的科研文献作为教学补充资料进行分析讨论。加强课后答疑，注意摸清和汇集同学的问题，因材施教。提供补充文献和相关网站供学生进一步课外阅读，培养学生查阅、分析科研文献的能力。②注重启研互动，突出学生的教学主体地位采用启发诱导、讨论互动、灵活多样的教学方式，努力做到启而不灌，发而不乱，学思结合，循循善诱。避免传统“填鸭式”教学的弊端，激发学生学习兴趣，提高教学效果。③加强过程考核，使成绩评价更客观加强学生学习过程表现的考核，将平时成绩提高到20分（考试80分），避免考前突击和一考定终身。学生平时成绩由作业、出勤、回答问题与讨论、撰写小论文等综合给出。3、学业考核与评定（1）试卷题型及分值分布：题型有填空题、单项选择题、判断题、计算题、证明题。试卷满分值为100分，由填空题（20%）、单项选择题（10%）、判断题（10%）、计算题（30—40%）、证明题（20—30%）组成。5（2）成绩评定方式的主要构成及比例：采用百分制评分，总成绩由平时成绩20%、期末考试成绩80%组成。其中，平时成绩由出勤、课堂表现、回答问题情况、作业、读书报告、学期小论文的成绩组成。期末考试成绩指期末考试卷面成绩。（3）考试形式与时间：闭卷、笔试，120分钟。六、教材建设、选用及参考书1、建议教材建议使用的教材是由高等教育出版社出版2003年熊金城编著的《点集拓扑讲义》（第三版）。该教材自1981年出版以来进行了多次修订，受到广大读者的一致好评，河北大学、河北师范大学等百余家综合性、师范类高校选用作为教材或教学参考书，其中多家以该教材建设精品课程。2、教学参考书（1）熊金城．点集拓扑讲义[M]．北京：高等教育出版社，2003．（2）江泽涵．拓扑学引