利用“不动点”法巧解高考题

1利用“不动点法”巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键。与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结，探究反思，对那些难求通项的数列综合问题形成了利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助。1不动点的定义一般的，设()fx的定义域为D，若存在0xD使fxx()00成立，则称x0为fx()的不动点，或称00(,)xx为fx()图像的不动点。2求线性递推数列的通项定理1：设函数()(01)fxaxba、且x0是函数fx()的不动点，数列{}an满足递推关系123nnafan、、…，证明：数列{}axn0是公比为a的等比数列。证：∵x0是fx()的不动点，∴axbx00，∴bxax00，∴0101010()()nnnnaxaabxaaaxaax··，∴数列{}axn0是公比为a的等比数列。例1（2010上海文数21题）已知数列na的前n项和为nS且*585nnSnanN。⑴证明：数列1na是等比数列；⑵求数列nS的通项公式并求出使得1nnSS成立的最小正整数n。证：⑴当1n时，114a；当2n≥时，11155nnnnnaSSaa，∴16512nnaan≥，∴151266nnaan≥，记51()66fxx，令()fxx，求出不动点01x，由定理1知：151(1)26nnaan≥，又∵11150a，∴数列1na是等比数列。⑵略。3求非线性递推数列的通项定理2：设函数()(00)axbfxcadbccxd，且12xx、是函数fx()的不动点，数列na满足递推关系123nnafan、、…。⑴若12xx，则数列{}axaxnn12是公比为axcaxc12的等比数列；⑵若120xxx，则数列{}10axn是公差为2cad的等差数列。证：⑴由题设知111111111()axbbdxxxdxbacxxcxdacx；同理，222()dxbacxx。2∴11111111222222()()nnnnnnnnnnaabxaxcadacxabdxaxacxaabaxacxabdxacxaxxcad，∴数列{}axaxnn12是公比为acxacx12的等比数列。⑵由题设知axbxcxd的解为120xxx，∴xadc02且000bdxxacx。∴0100000011()()()nnnnnnncadcadaabbdxaxacxabdxxacxacadacx00000000001()()()()nnnnncadcacxdcxdcxcacxaxacxaxacxacxax00000111222nnnaddcccccadacxaxacxaxaxadacc∴数列{}10axn是公差为2cad的等差数列。例2（2006年全国Ⅱ卷22题）设数列na的前n项和为nS且方程20nnxaxag有一个根为*1()nSnN。求数列na的通项公式。解：∵211a且0)1()1(2nnnnaSaS，∴将1nnnSSa代入上式得121nnSS，记12fxx，令()fxx，求出不动点01x，由定理2-⑵知：12111111nnnnSSSS，∴数列11nS是公差为1的等差数列，∴1nnSn，∴数列na的通项公式为11nan。例3（2010年全国卷Ⅰ22题）已知数列na中，11a，11nnaca。⑴设52c，12nnba，求数列nb的通项公式；⑵求使不等式13nnaa成立的c的取值范围。解：⑴∵1525122nnnnaaaa，∴记52()2xfxx，令()fxx，求出不动点12122xx，；3由定理2-1知：112112221211222nnnnnnnnaaaaaaaa，两式相除得1122111422nnnnaaaa，∴212nnaa是以14为公比，112212aa为首项的等比数列，∴1212142nnnaa，13224nna，∴12433nnb。⑵解略。定理3：设函数2()02axbfxaaxd且12xx、是函数fx()的不动点，数列{}an满足递推关系1()23nnafan、、…，则有2111122nnnnaxaxaxax；若11120axax，则12lnnnaxax是公比为2的等比数列。证：∵xx12、是fx()的不动点，∴211dxbax，222dxbax。2221111122212222(2)2(2)2nnnnnnnnnnaxaabaadxaabaaxaxbaxaabaadxaabaaxaxb22211122222(2)()(2)nnnnnnaaaxxaxaaaxxax，又∵11120axax，∴120nnaxax，∴111122ln2lnnnnnaxaxaxax，∴12lnnnaxax是公比为2的等比数列。例4（2010东城区二模试题）已知数列{}nx满足14x，21324nnnxxx。⑴求证：3nx；⑵求证：1nnxx；⑶求数列{}nx的通项公式。证：⑴、⑵略；⑶∵21324nnnxxx，∴记23()24xfxx，令()fxx，求出不动点1213xx，；∵由定理3知：2212213(1)1124243(3)332424nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx，∴2111133nnnnxxxx，4∵111413343xx，∴133111log2log33nnnnxxxx．∵1311log13xx，∴令31log3nnnxax∴数列{}na是首项为1，公比为2的等比数列．∴12nna．∵由31log3nnnxax得133nannxx，∴11121231313131nnnnanax。利用函数“不动点法”求解较复杂的递推数列的通项问题并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下的两个定理供有兴趣的同学探究证明。定理4：设0x是函数222()(0)4bbfxaxbxaa的最小不动点，数列{}an满足递推关系1()23nnafan、、…，则2010()nnaxaax。定理5：设0x是函数23322()(0)3273bbbfxaxbxxaaaa的不动点，数列{}an满足递推关系1()23nnafan、、…，则3010()nnaxaax。