第七章不等式7.3基本均值不等式及应用

洪老师的高考必备资料库特供-1-§7.3基本(均值)不等式及应用考纲展示►1.了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．考点1利用基本(均值)不等式求最值1.基本(均值)不等式a＋b≤a＋b2(1)基本(均值)不等式成立的条件：________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立．答案：(1)a0，b0(2)a＝b2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥________(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．答案：(1)2ab(2)23．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本(均值)不等式可叙述为：________________________________.答案：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4．利用基本(均值)不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最________值是2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最________值是p24.(简记：和定积最大)答案：(1)x＝y小(2)x＝y大洪老师的高考必备资料库特供-2-1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件．(1)函数y＝x＋1x在区间(0，＋∞)上的最小值是________，在区间(－∞，0)上的最大值是________．答案：2－2解析：当x0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号，故y的最小值为2.当x0时，－x0，y＝x＋1x＝－－x＋－1x≤－2－x－1x＝－2，当且仅当－x＝－1x，即x＝－1时取等号，故y的最大值为－2.(2)函数y＝sinx＋4sinx，x∈0，π2的最小值为________．答案：5解析：y＝sinx＋4sinx≥2sinx·4sinx＝4，当sinx＝4sinx时，sinx＝±2，显然取不到等号．事实上，设t＝sinx，x∈0，π2，则t∈(0,1]，易知y＝t＋4t在(0,1]上为减函数，故当t＝1时，y取得最小值5.2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．(1)已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时，x的值为________．答案：12解析：由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时，等号成立．洪老师的高考必备资料库特供-3-(2)若x1，则x＋4x－1的最小值为________．答案：5解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时，等号成立.利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数．(1)已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是________．答案：92解析：∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1，∴1a＋4b＝1a＋4ba＋b2＝52＋2ab＋b2a≥52＋22ab·b2a＝92当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，等号成立.故y＝1a＋4b的最小值为92.(2)已知0x1，则y＝lgx＋4lgx的最大值是________．答案：－4解析：∵0x1，∴lgx0，－lgx0，∴－y＝－lgx＋4－lgx≥2－lgx4－lgx＝4，当且仅当－lgx＝4－lgx，即x＝1100时，等号成立，故ymax＝－4.[考情聚焦]利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容．主要有以下几个命题角度：洪老师的高考必备资料库特供-4-角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值[典题1](1)已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23[答案]B[解析]因为0x1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋－x22＝34.当且仅当x＝1－x，即x＝12时等号成立．(2)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值．[解]因为x＜54，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.(3)已知x为正实数且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值．[解]因为x＞0，所以x1＋y2＝2x212＋y22≤2x2＋12＋y222.又x2＋12＋y22＝x2＋y22＋12＝32，所以x1＋y2≤212×32＝324，洪老师的高考必备资料库特供-5-即(x1＋y2)max＝324.(4)求函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值．[解]令t＝x－1≥0，则x＝t2＋1，所以y＝tt2＋1＋3＋t＝tt2＋t＋4.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t＞0，即x＞1时，y＝1t＋4t＋1，因为t＋4t≥24＝4，当且仅当t＝2时等号成立，所以y＝1t＋4t＋1≤15，即y的最大值为15(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．[点石成金]1.利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．2．在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．角度二通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值[典题2]已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为________．[答案]4[解析]∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，即1a＋1b的最小值为4，当且仅当a＝b＝12时等号成立．[题点发散1]本例的条件不变，则1＋1a1＋1b的最小值为________．答案：9解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba·1＋a＋bb＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.洪老师的高考必备资料库特供-6-当且仅当a＝b＝12时等号成立．[题点发散2]本例的条件和结论互换，即：已知a＞0，b＞0，1a＋1b＝4，则a＋b的最小值为________．答案：1解析：由1a＋1b＝4，得14a＋14b＝1.∴a＋b＝14a＋14b(a＋b)＝12＋b4a＋a4b≥12＋2b4a·a4b＝1.当且仅当a＝b＝12时等号成立．[题点发散3]若将本例中的“a＋b＝1”换为“a＋2b＝3”，如何求解？解：∵a＋2b＝3，∴13a＋23b＝1，∴1a＋1b＝1a＋1b13a＋23b＝13＋23＋a3b＋2b3a≥1＋22ab9ab＝1＋223.当且仅当a＝2b＝32－3时等号成立．故1a＋1b的最小值为1＋223.[题点发散4]若将本例变为：设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则b2ac的最小值是________．答案：3解析：∵a－2b＋3c＝0，∴b＝a＋3c2，∴b2ac＝a2＋9c2＋6ac4ac≥6ac＋6ac4ac＝3，当且仅当a＝3c时等号成立．[题点发散5]若将本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得am·an＝22a1，则1m＋4n的最小值为________．洪老师的高考必备资料库特供-7-答案：95解析：设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2.am·an＝22a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a21⇒2m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，则1m＋4n＝151m＋4n(m＋n)＝155＋nm＋4mn≥15×(5＋24)＝95，当且仅当n＝2m＝103时等号成立．[点石成金]将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法．角度三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值[典题3][2017·江西南昌模拟]已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．[答案]6[解析]由已知，得x＝9－3y1＋y.解法一：∵x＞0，y＞0，∴0＜y＜3，∴x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝121＋y＋3(y＋1)－6≥2121＋yy＋－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，等号成立，故(x＋3y)min＝6.解法二：∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝13x·(3y)≤13·x＋3y22，当且仅当x＝3y时等号成立．设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.洪老师的高考必备资料库特供-8-[点石成金]消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本(均值)不等式求解．考点2基本(均值)不等式与函数的综合问题[典题4](1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)[答案]B[解析]由32x－(k＋1)3x＋20恒成立，得k＋13x＋23x.∵3x＋23x≥22，∴k＋122，即k22－1.(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．[答案]－83，＋∞[解析]由f(x)≥3恒成立，得x2＋ax＋11x＋1≥3，又x∈N*，∴x2＋ax＋11≥3(x＋1)，∴a－3≥－x＋8x.令F(x)＝－x＋8x，x∈N*，则F(x)max＝F(3)＝－173，即a－3≥－173，∴a≥－83.[点石成金]1.af(x)恒成立⇔af(x)max，af(x)恒成立⇔af(x)min.2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本(均值)不等式的问题可考虑利用函洪老师的高考必备资料库特供-9-数的单调性.已知函数f(x)＝x＋px－1(p为常数，且p0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p＝()A．2B.94C．4D.92答案：B解析：由题意，得x－10，f(x)＝x－1＋px－1＋1≥2p＋1，当且仅当x＝p＋1时等号成立．因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p＋1＝4,解得p＝94.考点3基本(均值)不等式的实际应用(1)[教材习题改编]现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是()A．1mB．1.5mC．0.75mD．0.5m答案：A(2)[教材习题改编]将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.答案：4＋22解析：设两直角边分别为am，bm，框架的周长为l，则12ab＝2，即ab＝4，洪老师的高考必备资料库特供-10-∴l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22，当且仅当a＝b＝2