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第六节指数函数1．根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果那么x叫做a的n次方根n＞1且n∈N＋当n为奇数时，正数的n次方根是一个，负数的n次方根是一个零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有，它们互为负数没有偶次方根xn＝a正数负数两个相反数(2)两个重要公式①nan＝an为奇数|a|＝a(a≥0)－a(a＜0)n为偶数；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：amn＝nam(a＞0，m、n∈N＋，且n＞1)；②负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a＞0，m、n∈N＋，且n＞1)．分数指数幂与根式有何关系？【提示】分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算．(2)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．(1)(na)n与nan这两个式子虽然非常接近，但它们的意义不同，差别很大，要注意区别．(2)在根式nam中，只要a＞0，m，n∈N＋，n＞1，那么它就可以化为分数指数幂amn.3．指数函数的图象和性质函数y＝ax(a＞0，且a≠1)图象0＜a＜1a＞1图象特征在x轴，过定点当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域(0，＋∞)单调性递减递增函数值变化规律当x＝0时，当x＜0时，；当x＞0时，.当x＜0时，；当x＞0时，.上方(0,1)y＝1y＞10＜y＜10＜y＜1y＞1指数函数的图象特征：(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．1．化简416x8y4(x＜0，y＜0)得()A．2x2yB．2xyC．4x2yD．－2x2y【解析】∵416x8y4＝(16x8y4)14＝[24(－x)8·(－y)4]14＝24×14·(－x)8×14·(－y)4×14＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.【答案】D2．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是()A．定义域是R，值域是RB．定义域是R，值域是(0，＋∞)C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)D．以上都不对【解析】∵y＝3－x＝，其定义域为R，值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝3－x－1的定义域为R，值域为(－1，＋∞)．【答案】C3．设指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则下列等式不正确的是()A．f(x＋y)＝f(x)·f(y)B．f((xy)n)＝fn(x)·fn(y)C．f(x－y)＝D．f(nx)＝fn(x)【解析】∵f(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝f(x)·f(y)，f(x－y)＝ax－y＝ax÷ay＝，f(nx)＝anx＝(ax)n＝fn(x)，∴A、C、D均正确，故选B.【答案】B4．已知函数f(x)＝a－.若f(x)为奇函数，则a＝______.【解析】∵定义域为R，且函数为奇函数，∴f(0)＝0，即a－＝0，∴a＝.【答案】5．(2008年重庆卷)若x0，则(2x14＋332)(2x14－332)－4x－12(x－x12)＝________.【解析】(2x14＋332)(2x14－332)－4x－12(x－x12)＝4x12－33－4x12＋4＝－23.【答案】－23指数幂的化简与求值化简下列各式(其中各字母均为正数)：(1)14－12·(4ab－1)30.1－2(a3b－3)12(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12.【思路点拨】(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算；(2)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求．【解析】(1)原式＝412·432100a32·b－32·a－32·b32＝425a0·b0＝425.(2)原式＝－52a－16b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a－16b－3÷(a13b－32)＝－54a－12·b－32＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.指数函数的性质求下列函数的定义域、值域及单调区间．(1)y＝，(2)y＝2x2－x－6.【解析】(1)要使函数y＝21x－4有意义，则x－4≠0，即x≠4.∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠4}．又∵u＝1x－4≠0，∴21x－4≠1.∴y＝21x－4的值域为{y|y＞0，且y≠1}又∵函数y＝21x－4可分解为y＝2u，u＝1x－4，而u＝1x－4在(－∞，4)上是减函数，在(4，＋∞)上也是减函数．根据复合函数的单调性的规律可得，函数y＝21x－4在(－∞，4)上是减函数，在(4，＋∞)上也是减函数．(2)函数的定义域为R，令u＝x2－x－6，则y＝2u.∵二次函数u＝x2－x－6＝x－122－254≥－254，∴函数的值域y|y≥12254.又∵二次函数u＝x2－x－6的对称轴是x＝12，在12，＋∞上u＝x2－x－6是增函数，在－∞，12上是减函数，又函数y＝2u是增函数．∴y＝xx2－x－6在12，＋∞是增函数，在－∞，12上是减函数．涉及复合函数单调性问题，首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间．利用定义证明时可分层比较，对于内外层函数，注意“同增异减”．1．已知函数f(x)＝(1)讨论函数的单调性；(2)求函数的值域．【解析】(1)由复合函数的单调性求解．令u(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴其对称轴为x＝1，开口向上，故u(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，而f(u)＝13u是递减函数，由“同则增，异则减”可知f(x)＝13x2－2x的单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞)．(2)∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，而0＜13＜1，∴0＜13x2－2x≤13－1＝3，∴函数f(x)的值域为(0,3]．指数函数的综合问题已知f(x)＝(ax－a－x)(a＞0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立．求b的取值范围．【解析】(1)函数定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a＞1时，a2－1＞0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a＞0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数．所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1]．(1)函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题，常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题．(2)求参数的范围也是常考内容，难度不大，但极易造成失分，因此对题目进行认真分析，必要的过程不可少，这也是高考阅卷中十分强调的问题．2．已知f(x)＝(a＞0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．【解析】(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}．(2)对于定义域内任意x，有f(－x)＝1a－x－1＋12(－x)3＝ax1－ax＋12(－x)3＝－1－1ax－1＋12(－x)3＝1ax－1＋12x3＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(3)当a＞1时，对x＞0，由指数函数的性质知ax＞1，∴ax－1＞0，＞0，又x＞0时，x3＞0，∴x3＞0，即当x＞0时，f(x)＞0.又由(2)，f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)，当x＜0时，－x＞0，有f(－x)＝f(x)＞0成立．综上知a＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立．对于0＜a＜1时，f(x)＝当x＞0时，1＞ax＞0，ax＋1＞0，ax－1＜0，x3＞0，此时f(x)＜0，不满足题意；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不满足题意．综上，所求a的范围是a＞1.近几年高考主要考查指数运算和指数函数图象，或由指数函数复合而成的函数．对指数函数考查多是指数函数的综合问题及比较大小、图象等问题．1．(2009年山东卷)函数y＝的图象大致为()【解析】函数有意义，需使ex-e-x=0，其定义域为{x|x≠0}，排除C，D.又因y=，所以当x＞0时函数为减函数，故选A.【答案】A2．(2008年安徽)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有()A．f(2)＜f(3)＜g(0)B．g(0)＜f(3)＜f(2)C．f(2)＜g(0)＜f(3)D．g(0)＜f(2)＜f(3)【解析】∵f(x)－g(x)＝ex且f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，∴f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，解得f(x)＝，g(x)＝－.∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(3)＞f(2)＞f(0)＝0且g(0)＝－1，∴g(0)＜f(2)＜f(3)，故选D.【答案】D课时作业点击进入链接